半群環の極小自由分解

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半群環の極小自由分解について,主にBettiを調べるという観点から研究を進めてきた。日比、寺井の両氏と共に、計算ソフトMacaulayによって分配束の日比環のsecond Betti numberが基礎体の標数の変化によってどのように挙動するか、いくつかの例を調べ、同じ分配束のStanley-Reisner環のそれよりも真に大きいものは存在するが、標数にBetti numberが依存する例は確認されなかった。この後日比、寺井の両氏による共同研究によって、ladder determinantal ringの2-minorの場合について、そのsecond Betti numberは純粋に組合せ論的な量によって表されることが示され、特にこの場合には標数には依存しないことが示された。一般の日比環に関しては未解決なので今後の課題である。寺井氏とは、半群環のCohen-Macaulay性について、それがいつ基礎体の標数に依存しないかという問題に関して有益な議論が交わされた。単体複体のhomologyを使った議論により、5元生成までは標数に依存しないことが氏によって示され、6元生成の時の疑問から発展して、余次元2のCohen-Macaulay半群環は、その定義イデアルの生成元の個数は3個以下なのではないかという予想にたどりついた。この予想は1次元、simplicial caceなどでは既に正しいことが知られている。これも今後の課題である。このように、半群環のBetti numbersを単体複体を通して調べるという問題意識は広まりつつあるが、この方向での(一般論にまでは及ばなかったが)具体例の研究での先行する結果として、J.Andersenの対称行列のすべての2-minorsで生成されるイデアルのBetti numbersの計算がある。2-minorsの場合には、4番目のBetti numberまで、標数にはよらなかったが、3-minorsの場合には3番目のBetti numberが標数による、という結果をまとめ、さらには2番目のBetti numberは標数に依存しないという蔵野氏の結果の短い別証明を得て、発表予定である。