水の波の数学解析

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本研究では広い意味での水の波の現象を様々な要因の下で数学的に解析した。その要因とは、問題を考えている領域の形(有限の深さか、それとも深さ無限か)、空間次元は2次元か3次元か、あるいは表面張力、渦、粘性、圧縮性、熱伝導性等の影響を考慮するか否かといったものである。すでに非圧縮性粘性流体の場合の時間に関する局所解および大域解の存在定理が得られているが、今回新たに得られた主要な結果は粘性流体で圧縮性の影響をも考慮した場合と、非粘性流体で渦なしを仮定しない場合についての次の2つである。(1)空間次元3次元で深さ有限の場合に流体の表面張力、渦、粘性、圧縮性、熱伝導性の影響をすべて考慮した方程式系の時間に関する局所解、および大域解の一意存在が示された。またこの問題で表面張力の影響を無視した場合も同様の結果がえられることもわかった。この場合方程式が放物-双曲型になるため、非圧縮性の場合に放物型の問題として取り扱えたのと異なり工夫を必要とした。(2)空間2次元で深さ無限の場合に流体が非圧縮、非粘性だが渦なしは仮定しない方程式系の時間に関する局所可解性が示された。この場合、いわゆる古典的な水の波の問題とは流体が渦なしではないことを仮定とするという点においてのみが異なるが、従来の水の波の問題では調和関数の境界値を決める問題に帰着されたのに対して、今の場合内部でも流体の運動を決めなくてはならず、従来にない工夫が必要になった。以上の結果はいずれも出版準備中である。