ポアソン方程式のソース逆問題の数値解法に関する研究

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本研究では主に、ポアソン方程式のソース逆問題において本質的役割を持つ問題である対数ポテンシャル逆問題に対する数値解法について研究をおこなった。ソースモデルとしては点ソースモデルを考え、これを表現する3種のパラメータ、すなわち個数、位置および強度の推定問題における具体的な数値解法、および得られた解の誤差評価に関する研究をおこなった。この研究に関して従来得られていた結果として、点ソースモデルのパラメータのうち位置のみを未知とし、これを対象領域の全境界における対数ポテンシャルのデータから推定する問題の数値解法および誤差評価がある。本研究ではこの結果を発展し、個数、強度および位置のすべてのパラメータが未知である場合に対し、対象領域の全境界における対数ポテンシャルのデータからこれらの未知パラメータを同時に推定する問題の研究をおこなった。その結果、問題に対する離散フーリエ変換を用いて定義されるある評価関数を用いた数値解法を得ることができた。なおこの結果は英語論文として発表した。本研究ではまた、データである対数ポテンシャルを与える範囲を対象領域の部分境界に制限した場合に対し、点ソースモデルの各種パラメータを推定する問題について研究をおこなった。その結果、点ソースモデルのパラメータのうち位置のみを未知とした場合について、これを推定する問題に対する窓フーリエ変換を用いた2つの解法を得ることができた。また問題の理論的な解の一意性ついても、大阪大学の久保雅義氏、大阪教育大学の木村正人氏の示唆により、肯定的に解決することができた。この結果は学会および研究会において発表をおこなった。また現在、論文として投稿準備中である。