Application of the method of fundamental solutions for abnormal diffusion equations in the layered medium

令和4年度は主として、拡散方程式に対する代用電荷法のNaiveな実装において時間刻みを小さくした場合に生ずる数値的不安定性への対処について、研究を進めた。前年度末に、Convolution Quadrature Method (CQM) を適用することにより安定性の改善の可能性があるという着想を得た。この着想を確認すべく、予備的な数値実験を行った結果、数値的に安定に計算を行うことができたたため、その理由を探るべくいくつかの観点から検討を行った。まず、ステップ毎の仮想電荷の計算に必要となる連立方程式の性質、特に行列の条件数を調べたところ、大幅に小さくなっていることが確認できた。このことが数値的不安定性の除去につながったものと考えられる。一方でCQMを用いるためには、近似解の表現として時間方向についてはシンプルな重ね合わせではなく畳み込み積分を離散化する手法を用いている。そのため、得られた数値解が拡散方程式を厳密に満たすという性質を失っている可能性がある。また、メッシュレス的な方法が持っている、時間・空間に関する計算点の自由度がかなり失われており、これらの点について改善の余地があることが判明した。なお先に述べたように、代用電荷法のNaiveな実装において仮想電荷の計算に必要となる連立方程式の行列は悪条件なものであるが、対角性は強いため、その性質を生かした安定化が図れないかについても検討中である。以上の結果について、令和4年度中の発表はかなわなかったものの、5年度の早い時期に行われる学会で発表を行う。

令和4年度は主として、拡散方程式に対する代用電荷法のNaiveな実装において時間刻みを小さくした場合に生ずる数値的不安定性への対処について、研究を進めた。前年度末に、Convolution Quadrature Method (CQM) を適用することにより安定性の改善の可能性があるという着想を得た。この着想を確認すべく、予備的な数値実験を行った結果、数値的に安定に計算を行うことができたたため、その理由を探るべくいくつかの観点から検討を行った。まず、ステップ毎の仮想電荷の計算に必要となる連立方程式の性質、特に行列の条件数を調べたところ、大幅に小さくなっていることが確認できた。このことが数値的不安定性の除去につながったものと考えられる。一方でCQMを用いるためには、近似解の表現として時間方向についてはシンプルな重ね合わせではなく畳み込み積分を離散化する手法を用いている。そのため、得られた数値解が拡散方程式を厳密に満たすという性質を失っている可能性がある。また、メッシュレス的な方法が持っている、時間・空間に関する計算点の自由度がかなり失われており、これらの点について改善の余地があることが判明した。なお先に述べたように、代用電荷法のNaiveな実装において仮想電荷の計算に必要となる連立方程式の行列は悪条件なものであるが、対角性は強いため、その性質を生かした安定化が図れないかについても検討中である。以上の結果について、令和4年度中の発表はかなわなかったものの、5年度の早い時期に行われる学会で発表を行う。