有限シュバレー群環上におけるデイド予想

1.特殊線形群については、低次のものに対して(5次以下)、鍵となる素数が定義体の標数を割る場合にデイド予想が成立することが検証された。さらに、ブロックごとに検証することにより、射影特殊線形群についても低次のものに対し予想が検証された。2.上記の結果では、やはり、放物型部分群の巾単部分の表現の放物型部分群の作用による軌道分解の解析が重要であった。そこで、この軌道の解析結果を一般化することを試み、かなりの軌道について満足のいくパラメトリゼイションを得た。特に、巾単部分の自明な表現の軌道から得られる(放物型部分群の)表現の個数について比較的簡明な関係式を得た。このことは、アルペリン-マッケイ予想とも関連し、興味深い。3.交代群の場合、必要な議論の複雑度は、対称群の場合と比較にならない程増すが、対称群の場合に用いられた方法を相当一般化し、特殊線形群の場合の結果を応用すれば、この場合も検証できると予想される。これについては、対称群の場合の議論の最終の2,3ステップを残して一般化を完了し、かつ、特殊線形群の場合の結果を応用し易いよう改良を試みた。したがって、交代群の場合の検証に至る議論もかなり進んだといえる。個々のステップにおいては、組合せ論的、整数論的、代数幾何学的考察、また、計算機の運用が有益であった。また、デイド予想について数多くの場合を検証しているアン博士(ニュージーランド、オ-クランド大学)を研究の中間段階で日本に招へいし、助言を得たことも大きな影響を与えた。上記の結果についての詳細の発表は、現在準備中である。

1.特殊線形群については、低次のものに対して(5次以下)、鍵となる素数が定義体の標数を割る場合にデイド予想が成立することが検証された。さらに、ブロックごとに検証することにより、射影特殊線形群についても低次のものに対し予想が検証された。2.上記の結果では、やはり、放物型部分群の巾単部分の表現の放物型部分群の作用による軌道分解の解析が重要であった。そこで、この軌道の解析結果を一般化することを試み、かなりの軌道について満足のいくパラメトリゼイションを得た。特に、巾単部分の自明な表現の軌道から得られる(放物型部分群の)表現の個数について比較的簡明な関係式を得た。このことは、アルペリン-マッケイ予想とも関連し、興味深い。3.交代群の場合、必要な議論の複雑度は、対称群の場合と比較にならない程増すが、対称群の場合に用いられた方法を相当一般化し、特殊線形群の場合の結果を応用すれば、この場合も検証できると予想される。これについては、対称群の場合の議論の最終の2,3ステップを残して一般化を完了し、かつ、特殊線形群の場合の結果を応用し易いよう改良を試みた。したがって、交代群の場合の検証に至る議論もかなり進んだといえる。個々のステップにおいては、組合せ論的、整数論的、代数幾何学的考察、また、計算機の運用が有益であった。また、デイド予想について数多くの場合を検証しているアン博士(ニュージーランド、オ-クランド大学)を研究の中間段階で日本に招へいし、助言を得たことも大きな影響を与えた。上記の結果についての詳細の発表は、現在準備中である。