パンルヴェ超越函数の数理

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本研究課題は,非線型完全積分可能系の代表であるパンルヴェ方程式,およびその多変数化であるガルニエ系等の多変数ハミルトン系を統一的な立場から研究することが目的である.研究代表者を中心として,本年度は,2階線型常微分方程式のホロノミックな変形理論を具体的対象として研究を行なった.パンルヴェ方程式については,IV型方程式のτ-函数列のあいだに成り立つ代数的な関係式が得られ,これを公表した.また,II型およびIV型パンルヴェ超越函数の既約性についての結果はまもなく公表される.今年度は,国内諸研究機関の研究者との交流をすすめ,共同研究が進展した.上述の成果も,その交流のたまものであるが,とくに,パンルヴェII型,およびIV型微分方程式の多変数化を追求した。その結果,これらを記述する多時間ハミルトン系の構造について,ほとんど最終的ともいえる結果が得られ,これをもとにして,ハミルトン系の解についての研究をつづけているところである.このテーマで,大学院生達により著しい成果が得られたことも特記すべきことである.パンルヴェ超越函数は,数理物理学における新しい特殊函数として近年,その研究が著しく進展している.研究代表者は,諸分野の研究者,とくに数理物理学者との交流により,パンルヴェ超越函数のτ-函数の満足する双一次型式について,新しい結果と,視点を得た.現在,これを深くしらべているところであるが,これも本研究課題の成果である.