THE COMPLEX GINZBURG-LANDAU EQUATION

我们对公式/dt + （γ + iα）κ Σ（u） + （κ + iβ）κ Σ（u） - γu = 0， t>0 ; u（0） =u_0，其中κ Σ和Σ在希尔伯特空间X中的子差异中存在。Let Ω γ R^N是一个边界域。设置X ： = L^2（Ω），μ（u） ： = （1/p）μ u μ p_<L^p>， u μ W^<1， p>_0（Ω） ; μ（v） ： =（1/q）μ v μ q_<L^q>， v μ L^q（Ω），我们有μ（u） =| u（u）|^<q-2>u， u ∈ D（κ ψ） ： = L^<2（q-1）>（Ω），κ Σ（u） = -Δ_pu： =-div（|u（|^<p-2> μ u）， u μ D（μ） ： = {u μ W^<1， p>_0（Ω） ; Δ_pu μ L^2（Ω）}和hence（CGL）_p μ u/μ t - （μ +iα）·Δ_pu+ （μ +iβ）|u（u）|^<q-2>u -\u = 0， t>0 ; u（O） ： u_0.Here we have assumed that p [greater than or equal] 2， q [greater than or equal] 2。We have revealed that the global in time solvability of （CGL）_p is classified as follows according to the pair （\/\，\/\）/R^2 and the initial value。在任何情况下，我们都认为|α（α）|/λ [less than or equal] 1/c_p： = 2√<p-1>/（p-2）.1. Existence of weak solutions for any （α/λ， β/κ）， u_0 ∈ L^2（Ω）（no uniqueness， in general）2。（\/\，\/\） belonging to "（CGL） region" ： = {（x， y） ∈ R^2 ; xy [大于或等于] 0 or| xy（xy）|1 < （|x（x）| + |y（y）|）/c_q} and u_0 ∈ W^<1， p>_0（Ω） ∩ L^q（Ω） （no uniqueness， in general）3。具有（α/γ， β/κ）的强解决方案的独特存在|β（β）|/\[less than or equal] 1/c_q and u_0/L^2（\）。

We have considered initial value problem for abstract evolution equations of the formdu/dt + (λ+ iα)∂φ(u) + (κ + iβ)∂ψ(u) - γu = 0, t>0 ; u(0) =u_0,where ∂φ, ∂ψ are subdifferentials of convex functions φ, ψ on a Hilbert space X.Let Ω ⊂ R^N be a bounded domain. Setting X : = L^2(Ω), φ (u) : = (1/p)‖∇u‖^p_<L^p>, u ∈ W^<1, p>_0(Ω) ; ψ(v) : =(1/q)‖v‖^q_<L^q>, v ∈ L^q(Ω), we have ∂ψ(u) = |u|^<q-2>u, u ∈ D(∂ψ) : = L^<2(q-1)>(Ω), ∂φ(u) = -Δ_pu : =-div(|∇u|^<p-2>∇u), u ∈ D(∂φ) : = {u ∈ W^<1, p>_0(Ω) ; Δ_pu∈ L^2(Ω)} and hence(CGL)_p ∂u/∂t - (λ+iα)・Δ_pu + (κ+iβ)|u|^<q-2>u - γu = 0, t>0 ; u(O) : u_0.Here we have assumed that p 【greater than or equal】 2, q 【greater than or equal】 2. We have revealed that the global in time solvability of (CGL)_p is classified as follows according to the pair (α/λ, β/κ) ∈ R^2 and the initial value. In any case we assume that |α|/λ 【less than or equal】 1/c_p : = 2√<p-1>/(p-2).1. Existence of weak solutions for any (α/λ, β/κ), u_0 ∈ L^2(Ω)(no uniqueness, in general)2. Existence of strong solutions for (α/λ, β/κ) belonging to "(CGL) region" : = {(x, y) ∈ R^2 ; xy 【greater than or equal】 0 or |xy| - 1 < (|x| + |y|)/c_q} and u_0 ∈ W^<1, p>_0(Ω) ∩ L^q(Ω) (no uniqueness, in general)3. Unique existence of strong solutions for (α/λ, β/κ) with |β|/κ 【less than or equal】 1/c_q and u_0 ∈ L^2(Ω) (smoothing effect of solution operators).