非線形可積分系の法素数還元

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本研究は,線形常微分方程式に対して行われているp進解析を,パンルベ方程式を含む非線形可積分系にまで適用範囲を広げ,その特殊解の構造や数論的対称性を調べる手法を開発することを目指していた。今年度はソリトンやパンルベ方程式の代数関数解の解析を目指して,不確定特異点におけるp進解析の研究を進めた。雛形としてHermite-Weber方程式を採り上げ,無限遠点における発散級数解に対して法素数還元を考察した。級数の発散性と還元に対する整合性の相関を見出し,確定特異点の場合との相違を新しい知見として獲得した。またラプラス変換を確定特異点型の場合の結果を不確定特異点型に翻訳するものと見て,その法素数還元との整合性の追求することが大きな手がかりとなる。今年度は,多重積分で表される確定特異点型の関数の接続係数を計算し,そのラプラス変換となる不確定型の関数のStokes係数との対応を研究した。さらに,パンルベ方程式等の母胎となる微分方程式の変形理論と,法素数還元との整合性を考察した。その手がかりとして,変形を許す,すなわちnon-rigidな微分方程式を対象に,変形の特異点となる積分表示を持つ解の分布を調べた。このような方程式は,p-曲率予想の視点からも興味深いものである。また,微分方程式の拡大縮小の手法に基づき,指定された積分表示を特殊解として持つような変形方程式の構成を試みている。これらの解析的な手続を,D-加群のカテゴリーで定式化し,数論的操作として適用できるようにすることが今後の課題である。