超幾何関数の一般化とその解析的構造

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一般合流超幾何関数は、重要な特殊関数である様々な古典的超幾何関数族を統一的にとらえたものである。本研究では、一般合流超幾何関数のなすヒエラルキーの構造を生かして、その解析関数としての性質を調べること、様々な分野からの視点をもって多面的に理解していくことを目的としていた。まず解析関数としての性質の研究に関しては、古典的な1変数超幾何関数族に相当する(2,4)型合流超幾何関数において、特異点の近傍で特徴的に振る舞う局所解が合流操作によって遺伝していくことを見出した。そのことから、大域的挙動を記述する接続係数も、合流により計算されることが従う。(2,5)型、或いは一般の(k,n)型合流超幾何関数に対する同様の局所・大域解析への、足がかりになると思われる。また、積分表示における交点理論から得られる超幾何関数の2次関係式(Riemannの周期関係式のねじれ版)を、合流操作を通して合流超幾何関数に対しても得ることができた。その際、コホモロジー群の基底として性質の良いものを採用することが重要である。さらに一般合流超幾何関数のヒエラルキーにおいて、合流操作と特異集合への制限とが、ある場合に可換になることを調べた。これらの成果によって、一般合流超幾何関数を、合流のない確定型超幾何関数と関連づけて研究していく環境が整備されてきた。多面的な理解に関しては、研究集会等の機会を活用して、色々なものの見方を交換することができた。特に整数論・保型関数論と合流超幾何関数とのつながりの重要性が認識された。また積分サイクルに関しては、Lerayの特異初期値問題の研究を学び、深い関わりを見出した。今後の研究を展開していく方向を、示唆するものである。