一般超幾何関数の研究

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本研究では、特殊関数の統一的研究を目的とし、そのため多くの特殊関数の母関数となっている一般合流超幾何関数の解析を進めることを計画していた。一般合流超幾何関数のうち、一重積分表示を持つものを考える。これは指数関数に有理関数を代入したものと、1次式の巾積を掛け合わせて積分したものであり、有理関数の係数及び1次式の係数の関数となる。但し、有理関数の係数の表わし方に特徴があり、それは線形アーベル群の指標に由来していた。さて、このような超幾何関数に対し、積分表示における積分領域=cycleを、確定型の場合のtwisted cycleから、合流操作によって構成することが出来た。こうして構成されたcyclesが1次独立であることを示すため、周期行列の行列式を計算する必要がある。これは、確定型の場合のYarchekoの求めた周期行列式の合流として具体的に計算することが出来た。この結果は、上で注意した特徴的な係数の入れ方に負うものと考えられる。従って、このcyclesが1次元ホモロジー群の基底となることが分かり、この場合の一般合流超幾何微分方程式系の階数が求められた。また以上の結果は、既に得られているcocyclesの合流と併せると、関数の合流を与えることが分かる。即ち、級数展開等の局所解析的な研究と、接続係数を始めとする大域的研究への足掛りが得られたことになる。更に、一般合流超幾何関数と、多変数Whittaker関数等の不変微分作用素の同時固有関数、多変量統計学、保型関数論等に由来する行列Bessel関数、量子重力場の理論に関連して現れる行列Airy関数等との類似も認識されるようになってきた。このことは、一般合流超幾何関数の理論の豊かさを示唆するのみならず、その多様な研究の可能性を与えている。