シンプレクティック幾何における商空間の幾何学とその応用

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微分幾何、代数幾何における種々のモジュライ空間の幾何を調べることは興味ある問題と思われる。これらの多くはシンプレクティック商、あるいは超ケーラー商として構成されるので、それらの幾何を調べることが重要になってくる。実際、シンプレクティック商のトポロジーに関しては、ここ20年ほど、同変コホモロジー論やモース理論が応用され、多くのことがわかってきた。一方、超ケーラー商に関してはあまり多くのことはわかっていない。そこで、超ケーラー商のトポロジーを中心に研究した。超ケーラー商は、ある意味で、3重にシンプレクティック商をとったものなので、そのトポロジーはシンプレクティック商のトポロジーより複雑になると考えられる。ところが、可換群による超ケーラー商さらにはある特別な非可換群による超ケーラー商のコホモロジー環を調べたところ、通常のシンプレクティック商の場合より単純な構造を持っていた。そこで我々はこの事実の理由を追求することにより、超ケーラー商のコホモロジー環の構造に関する予想を定式化することができた。そして、この予想は一般には予想が成立しないが、あるクラスの超ケーラー商に対しては有効らしいことが明らかになりつつある。さらに超ケーラー商の複素構造の変形に対する、複素ラグランジュ部分多様体のふるまいに関する研究をはじめた現象の抽象的な枠組みでの記述とそれが生じる理由の説明が目標である。