ラグランジュ平均曲率流とシンプレクティック幾何

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昨年度に引き続き、４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ部分多様体の安定性について研究した．近年，ロテイとオリベイラは，４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ平均曲率流を具体的に観察できる例を与え，ラグランジュ平均曲率流の収束性とラグランジュ部分多様体の安定性の関連性を指摘した．とくに，ロテイとオリベイラは，群作用で不変なラグランジュ部分多様体が，群作用に同変な変形で特殊ラグランジュ部分多様体に変形できることと，そのラグランジュ部分多様体の同変安定性が同値であることを主張した．今年度は，彼らの議論において明確に扱われていない部分を，フレアー指数などの理論を基礎として再構成することにより，その同値性を完全に明らかにすることができた．また，ラグランジュ部分多様体の安定性の概念のミラー多様体における対応物と期待される変形ヤンミルズ接続に関する安定性の概念については，近年理解が進んでいるので，双方の関係を比較して，ラグランジュ部分多様体の安定性の概念を確立することが目的である．ミラー多様体のシンプレクティック幾何的な直観を基礎とする構成方法，とくにラグランジュトーラスファイブレーションの双対ファイブレーションおよびその量子補正を考慮した貼り合わせにより，ミラー多様体を構成することについて理解を深めた．また，この直観をふまえて，代数幾何を基礎として厳密にミラー多様体を構成する方法についても理解を深めた．さらにこのミラー多様体の構成方法の基礎に，完全可積分系の特異ファイバーのシンプレクティック幾何や申請者が以前に研究していた幾何学的量子化におけるケーラー偏極と実偏極の関係深くかかわっていることがわかってきたが，まだ決定的な結果は得られていない．