遅延微分方程式系の数値解法の安定性解析とその応用

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特別研究員は理工学の様々な現象を記述する遅延微分方程式(delay differential equations, DDEs)の離散変数解法の安定性解析の研究に従事している。数値解法としての離散変数法の信頼性を高めるには、安定性解析が不可欠であり、特にDDEsに含まれている遅延項に依存した(delay-dependent)解析が求められている。しかし、それは解析的な手法の困難さのゆえにまだ少数の結果しか得られていない。そこで、複素解析の手法と、コンピユータ・グラフィックスの道具を活用して、特性方程式の根が無限個ありうるというDDEsの特殊性のもとで、ルンゲ・クッタ法と線形多段階法の安定性解析を展開した。この2年間研究員はこの研究分野の従来の成果と現状を文献調査するとともに、パーソナルコンピュータと汎用数値計算ソフトウェアを導入し、数値実験とその視察を通じて理論的検討を推進した。さらに遅延量を持つ捕食者・被食者系微分方程式系の大域的漸近安定性に関する研究成果を論文としてまとめ、2002年6月Napoli(Italy)で開催される「生物数理学とその関連する計算問題の国際会議」(BIOCOMP2002)で発表した。同時に、国際会議では各国研究者と交流して研究動向を把握し、国際共同研究の可能性についても相談した。この2年間、DDEs及びNDDEsの安定性解析に関して数編の学術論文を著し、4編が国際学術雑誌に発表され、1編は投稿中である。これらの研究では、解析的な線形安定性の判別条件を打ちたてると共に、複素解析的手法を活用し、一段階法の典型としてのルンゲ・クッタ法と線形多段階法を線形安定なNDDEsに適用した際、数値的な安定性が保証される十分条件を導いた。すなわち、線形系の係数行列のノルム及びスペクトルの条件が安定性を導き、遅延項に対してラグランジュ補間を適切に行うことによって、硬い(stiff)系の問題に適用されるA安定なルンゲ・クッタ型離散変数法である限りRadau IAとLobatto IIICの各数値スキームのDDE版の安定性が保証できる。さらにn次遅延量を持つ捕食者・被食者系微分方程式系の大域的漸近安定性の自動判別を達成する事ができた。