厳密に解ける1次元量子系および2次元古典系における熱力学の定式化

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A.1次元量子系における輸送現象近年の実験技術の進歩により、1次元量子スピン系の熱伝導が測定可能になっており、巨大な熱伝導の観測など、興味深い現象が多数報告されている。一方、この系特有の非摂動的な量子揺らぎのため,従来の準粒子の散乱というフェルミ流体論の描像に基づく現象論的な手法は有効でなく,これまで熱伝導の定量的な理論はなかった。これらのことを動機として、ハイゼンベルクXXZ鎖の熱伝導に関して厳密解の手法を用いて微視的に研究し、熱伝導率(におけるドルーデ重率)の厳密計算に成功した。今年度は、1次元ハイゼンベルクXXZ模型のmassive領域に関して、理論を拡張した。この場合T=0では、エネルギーギャップのため、その結果熱的ドルーデ重率と比熱の比はゼロになる。これとは反対に、有限温度では無散逸な熱伝導が見出され(D_<th>0)、それが温度に関して、D_<th>=A√<T>exp(-T/Δ)(Δはギャップ)の形で立ち上がることを厳密に示した。また、この中で、可解模型において熱流が保存する条件を提示し、多くの可解模型がそれに当てはまることを示し、得られた理論が様々な場合に自然に拡張されることを示した。B.ハイゼンベルク鎖における相関関数1次元XXX模型は最も基本的な厳密に解ける模型であり、その物理的な性質は広範囲に渡って明らかにされているが、相関関数の厳密計算は、今もってなお非常に難しく、数理物理の中心的な問題の一つとなっている。最近量子群の表現論から導き出される相関関数に対する積分公式を評価することによって、1次元XXX模型の第三近接スピン-スピン相関関数の厳密解を得た。これは、1938年のHulthenの近接相関、1977年のTakahashiによる次近接相関以来、25年ぶりに得られた厳密結果である。この厳密結果から、ハイゼンベルク鎖の任意のスピン-スピン相関関数が一般にlog2とRiemannのzeta関数(with odd arguments)で表されることが予想され、数学的にも興味深い。また、この手法を未だに得られていなかったギャップレスXXZ鎖の相関へ拡張した。