不変式の組合わせ論的研究

不变量的组合研究

• 批准号: 02J10487
• 负责人: 黒田 茂
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02J10487/
• 关键词: ヒルベルトの第14問題; 微分・局所巾零微分; 多項式環; 自己同型; 代数幾何; 不変式環; SAGBI基底; 組合せ論; ザリスキの問題; 微分; アフィン空間; 可換環論; 計算可換代数

平成14年度に引き続き、多項式環の自己同型に関する未解決問題への応用を睨みながら、ヒルベルトの第14問題を中心に研究した。平成15年度後半(2003年8月末から2004年2月末まで)は米国ミシガン大学に滞在し、この分野で重要な成果を挙げているHarm Derksen, Igor Dolgachev, Karen Smithらと議論を行い、これまであまり試みなかった代数幾何的な手法を取り入れた研究も行った。そして主に以下の成果を挙げた。(1)ヒルベルトの第14問題は、多項式環の次元が2以下の場合はZariskiによって肯定的に解決されていた。一方、5次元以上では反例が存在することが示されていた。そして、これまで4次元と3次元の場合だけが未解決であったが、独自に発展させた手法を用いることで、そのどちらの場合にも反例が存在することを示した、又、体の超越次数に関しては、Zariskiの結果により2以下では肯定であるのに対し、永田雅宜氏が1950年代に構成したヒルベルトの第14問題への初めての反例において、すでに4という小さな値を取っていた。その後50年近く、超越次数が3の場合は未解決のままだったが、これについても反例を与え否定的に解決した。(2)ある方法によって構成された有理関数体の部分体が、有理関数体の中で代数的に閉じているための必要十分条件を定理として得たその系として、多項式環のある種の部分代数が微分の核となるための必要十分条件を得た。その結果、唯一4次元の場合だけ未解決であった微分の核の有限生成性の問題の答えが否定的であることが分かった。多項式環における微分の核の有限生成性の問題は、ヒルベルトの第14問題の重要な場合の一つであり、一般に大変難しい。(3)これらの結果を得るのに用いたSAGBI基底や単項式の組合せ論を応用した独自の手法を定式化し、多項式環の自己同型問題やそれらと関係の深い局所寞零微分、不変式環などを研究するための新しい理論の構築を行った。

In Pingcheng, we introduced the same type of unsolved problems of the same type of environment in Pingcheng in 14 years. We used the research tools of the center for the study of the 14th project. In the second half of the 15-year period of Pingcheng (late August 2003 and late February 2004), the United States and the United States were stuck in the United States, and the important achievements in the study of Harm Derksen, Igor Dolgachev, and Karen Smith were introduced into the study of algebra. The main results are as follows. (1) to solve the problems affirmed by the Zariski environment in terms of the number 14, multi-project environment dimension 2 and below. There is a counterexample of one party, more than five dimensions, and there is a counterexample. Four-dimensional, four-dimensional, three-dimensional, four-dimensional, four-dimensional, three-dimensional, four-dimensional, four-dimensional, three-dimensional, four-dimensional, three-dimensional, In the 1950s, Yasuhiro Nagata was asked to ask question 14 of the counterexample of Nagata in the 1950s, that is, the counterexample, the counterexample, the counter-example, the counterexample, the In the past 50 years, the number of times has not been solved, the counterexample has not been solved, and the negative solution has not been solved. (2) it is necessary to obtain the necessary conditions for the partial algebra of rational numbers and algebraic algebra in rational mathematics. The result of the experiment, the only 4-dimensional solution that failed to solve the problem of finite generation of differential kernels and negative results. Multi-project environment, differential nuclear problems, limited generation problems, key problems, key problems, general problems and general problems. (3) according to the results of the experiment, the SAGBI-based project model is used to customize the system, and the multi-project environment is used to solve the same problem of the same type of problem.

项目成果

黒田 茂: "A counterexample to the fourteenth problem of Hilbert in dimension three"Michigan Mathematical Journal. (掲載決定). (2004)

Shigeru Kuroda：“第三维希尔伯特第十四个问题的反例”密歇根数学杂志（2004 年出版）。

黒田 茂: "A generalization of Roberls' counterexample to the fourteenth problem of Hilbert"Tohoku Mathematical Journal. (掲載決定). (2004)

Shigeru Kuroda：“罗伯尔斯对希尔伯特第十四个问题的反例的概括”东北数学杂志（2004 年出版）。

黒田 茂: "A finite universal SAGBI basis for the kernel of a derivation"Osaka Journal of Mathematics. (掲載決定). (2004)

Shigeru Kuroda：“推导内核的有限通用 SAGBI 基础”《大阪数学杂志》（2004 年出版）。

黒田 茂: "A condition for the finite generation of the kernel of a derication"Journal of Algebra. 262. 391-400 (2003)

Shigeru Kuroda：“定义核的有限生成的条件”代数杂志 262. 391-400 (2003)。