離散系列保型形式とセルバーグ跡公式の整数論

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セルバーグの跡公式は保型形式やゼータ関数を研究する際の強力な手段の一つであり,保型形式の整数論にさまざまな応用がある.セルバーグ跡公式と本質的に同じ情報を含むレゾルベント跡公式について研究した.一般に,局所対称空間上のラプラシアンのレゾルベントは跡族ではないので,跡を計算するには何らかの"正規化"が必要である.そういった理由から明示的にレゾルベント跡公式が得られていたのは,SL(2,R),SL(2,C)のみであった.ミアテロとワラックの研究より,一般の階数1のリー群のラプラシアンのレゾルベントの複数回コンボリューションから構成されたポアンカレ級数を核関数とする積分作用素は十分たくさんコンボリューションを行えば跡族になることが知られている.よって,一般の階数1のリー群にレゾルベント跡公式を拡張するには特異点をもったレゾルベント核関数の複数回コンボリューションから構成されるポアンカレ級数の対角成分への解析接続と軌道積分の計算が必要となる.しかしながら,複数回コンボリューションされたレゾルベント核関数を直接扱うのは困難のように思われた.今回,この複数回コンボリューションされたレゾルベント核関数を特異点をもつガウスの超幾何関数にある種の微分作用素を複数回作用させたものとして具体的に書き下すことが出来た.結果,それから構成されるポアンカレ級数が対角線上積分可能になり,軌道積分も具体的に計算することが可能となった.結果として,階数1のリー群にたいするレゾルベント跡公式を得た.応用として,プランシェレルの公式,ペーリーウィーナーの公式を使うこと無しに直接セルバーグゼータ関数の解析接続や関数等式を示すことが出来た.