擬尖点形式を用いた跡公式の分割と保型形式及びゼータ関数の研究

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階数１の局所対称空間に対して定まるセルバーグゼータ関数とその数論的応用はよく知られているが、これらを階数２以上の場合に一般化することを主目的として、現在まで研究を実施してきた。特に階数２以上、非コンパクトで体積有限な場合が、数論的応用において重要であるが、現在まであまり研究されてこなかった。過去の筆者らの研究により、(A) 実数体上と複素数体上の２次の特殊線形群複数個の直積を代数体の整数環成分の離散部分群で割った商空間、(B) 実数体上の３次の特殊線形群を有理整数成分の離散部分群で割った商空間、両者の場合に、１変数または２変数のセルバーグ型ゼータ関数を定義し、その解析的性質を明らかにすることで、代数体の類数分布の漸近公式などの数論的応用が得られていた。今年度は、今まで扱っていなかった (i) 実数体上の階数１の不定値直交群複数個の直積を離散部分群で割った商空間、(ii) 種数２のジーゲルモジュラー多様体、の両者の場合に研究を実施した。(i)では、直積因子が二つで次元の積が偶数の場合、1変数のセルバーグ型ゼータ関数が定義されて、全平面に有理型に解析接続されることがわかった。Ｋタイプとして“隣接する基本表現の組”を持つセルバーグ跡公式を組み合わせて、単純化した跡公式を得ることがポイントであった。 (ii)について、ある階数１の放物型部分群に共役な元からなる“1型双曲共役類”を定義し、それから構成される1変数のセルバーグ型ゼータ関数を定義した。このゼータ関数は自然な形のオイラー積を持ち、ある種の仮定のもとで、全平面に有理型に解析接続されることがわかった。以上の結果をさらに精密化して、数論的な応用を得ることはこれからの課題である。