保型的ポアンカレ級数とレゾルベント型跡公式の整数論

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本年度は主に以下の二つのテーマに関して研究した.1.ゼータ関数の特殊値と多重qマーラー測度:複素係数の多変数有理関数に対して定まるマーラー測度とゼータ関数の特殊値の間にはさまざまの関係があることが知られている.今回,通常のマーラー測度のひとつの一般化として"多重qマーラー測度"を定義し,いくつかの有理関数に対して実例を計算した.ここで,多重q指数は複数のqパラメータを成分としてもち,成分の個数がひとつで,q=1のとは通常のマーラー測度と一致する.得られた結果は"部分的に量子化(q類似された)"ゼータ関数やL関数の特殊値が現れて大変変興味深い.また,多重q指数の各成分を1に近づけたり,特殊化することによって,さまざまなディリクレ級数の特殊値や多重ゼータ値があらわれた.これらの結果からディリクレ級数の特殊値や多重ゼータ値の間の自明でない関係式が示唆され,それらの値の超越性の研究に役立つと思われる.2.レゾルベント型跡公式と保型形式の周期の分布:素測地線定理のある種の一般化として保型形式の周期の分布に関する漸近公式について研究した.離散群のある第一ホモロジー類に制限した漸近公式の主要部は知られていたが,制限しない形での漸折公式の主要部は知られていなかった.保型形式の周期の分布を調べるには,その生成関数となるディリクレ級数の解析的挙動を調べることが必要となる.レゾルベント型跡公式の一般化の応用として,保型形式の周期を係数とするディリクレ級数の解析接続や関数等式はすでに得ていたが,それらを用いて,実軸上の極の主要部を決定した.結果として,保型形式の周期の分布に関する漸近公式の主要部が求まった.さらに,離散群が余有限でない例として,レベルが素数の合同部分群の場合を考察した.この場合,考えている保型形式のL関数の甲心での値が零か非零かによって状況が大きく異なることがわかり大変興味深いといえる.