楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論

椭圆曲线的 Hodge-Arakelov 理论

• 批准号: 13740008
• 负责人: 望月 新一
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740008/
• 关键词: Hodge理論; Diophantus幾何; 楕円曲線; 遠アーベル幾何; p進; 双曲型代数曲線; 圏論; 宇宙; Diophatus幾何; クリスタリン; P進; Teichmuller写像

14年度は、「Hodge-Arakelov理論」のDiophantus幾何への応用に向けて理論を具体的に定式化する上で大きな進展を見た。主な発見および新しく得た視点は次の通りである:(1)以前は、この応用を妨げている技術的な障害を取り除くための手段として、遠アーベル幾何によるアプローチを考えていたが、様々な理由により、13年度に検討していたアプローチでは不十分であることが判明した。しかし、遠アーベル幾何の精神を受け継ぎながら、Galois圏だけでなく、もっと一般的な圏や圏論によるアプローチが有効になる可能性が高いことが分かった。(2)この圏論的アプローチを実現するための技術ないしは「言語」として、圏論や、集合論における「宇宙」の概念を活用した宇宙際幾何(inter-universal geometry)を開発した。(3)圏論的なアプローチでは、遠アーベル幾何におけるGrothendieck予想に対応する様々な結果を証明した。その中で代表的なのは、log schemeの圏に関するものである。なお、最近では、このような結果を、archimedeanな構造が付いているlog schemeの場合に拡張し、またこの結果の延長線上にある理論の中で、数体上の大域的な数論的Frobenius射(=正標数の関数体上のp乗写像の類似物)という興味深い対象も構成している。(4)Hodge-Arakelov理論との関係でいえば、以前考えていたHodge-Arakelov理論の基本定理である「比較同型」よりも、theta convolutionという対象による定式化の方が、圏論的なアプローチとの相性がよいことが分かり、そのような観点による、圏論とHodge-Arakelov理論との「融合」を推進することにした。また、Diophantus幾何への応用と直接は関係ないが、正標数のコンパクト双曲型代数曲線のGrothendieck予想の証明の完成に向けて様々な技術的な進歩があった。

14 annual は, "Hodge - Arakelov theory" の Diophantus geometric へ の 応 with に to け て theory を specific に demean す る で large き な を see た progress. Main な 発 see お よ び new し く have た viewpoints は times の tong り で あ る は : (1) before, こ の 応 with を hinder げ て い る technology な handicap of を take り except く た め の means と し て, far ア ー ベ ル geometric に よ る ア プ ロ ー チ を exam え て い た が, others 々 な reason に よ り, 13 year に beg し 検 て い た ア プ ロ ー チ で は not quite で あ る こ と が convicted Ming た. し か し, far ア ー ベ ル geometric の spirit を by け 継 ぎ な が ら, Galois sha-lu だ け で な く, も っ と general な sha-lu や sha-lu theory に よ る ア プ ロ ー チ が have sharper に な likely が る い こ と が points か っ た. (2) こ の sha-lu theory ア プ ロ ー チ を be presently す る た め の technology な い し は "words" と し て, sha-lu や theory, set theory に お け る の concept of "the universe" を use し た universe international geometry (Intel - universal geometry) を open 発 し た. (3) theory of sha-lu な ア プ ロ ー チ で は, far ア ー ベ ル geometric に お け る Grothendieck to think に 応 seaborne す る others 々 を な results prove し た. In そ そ, the で represents the な <s:1> で, the log scheme <s:1> circle に is related to the する そ である である である. Youdaoplaceholder0, recent で る, <s:1> ような results を, archimedeanな constructs が sub-が て る る るlog Scheme の occasions に company, zhang し, ま た こ の result の extension cord に あ る theory の で な number theory, the number of body の large domain Frobenius shot (= is the number の masato number on の p 乗 write like の analogue) と い う tumblers deep い like も constitute seaborne し て い る. (4) The relationship of the Hodge-Arakelov theory と <s:1> で えば えば えば, the previous examination えて た た た, the basic theorem of the Hodge-Arakelov theory <s:1> である "comparative homomorphism" よ と, theta Convolution と い う like に seaborne よ る demean の が, theory of sha-lu な ア プ ロ ー チ と の photograph sex が よ い こ と が points か り, そ の よ う な 観 point に よ る, sha-lu と Hodge - Arakelov theory と の を "convergence" advance す る こ と に し た. ま た, Diophantus geometry へ の 応 は directly with と masato is な い が, are standard number の コ ン パ ク ト hyperbolic algebraic curve の Grothendieck think の document の to に け て others 々 な な technology into step が あ っ た.

项目成果

Mochizuki, Shinichi: "An Introduction to p-adic Teichmuller Theory"Cohomologies p-adiques et applications arithmetiques, I, Asterisque. 278. 1-49 (2002)

望月新一：“p-adic Teichmuller 理论简介”上同调 p-adiques 及其应用算术，I，Asterisque。

Mochizuki, Shinichi: "A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I"Arithmetic Fundamental Groups and Noncommutative Algebra, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 70. 533-569 (2002)

望月新一：“椭圆曲线霍奇-阿拉克洛夫理论综述 I”算术基本群和非交换代数，纯数学研讨会论文集。

Mochizuki, Shinichi: "A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves II"Algebraic Geometry, Azumino, Adv. Stud. Pure Math., Math.Soc.Japan. 36. 81-114 (2002)

望月新一：《椭圆曲线 Hodge-Arakelov 理论综述 II》代数几何，安昙野，Adv.

MOCHIZUKI, SHINICHI: "A SURVEY OF THE HODGE-ARAKELOV THEORY OF ELLIPTIC CURVES I"アメリカ数学会出版のresearch volume. (掲載予定).

Mochizuki, Shinichi：“A Survey of THE HODGE-ARAKELOV THEORY OF ELLIPTIC CURVES I”研究卷，由美国数学会出版（待出版）。