双曲的曲線の内在的ホッジ理論

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この研究を始めた二三年前は暗中模索の状態だったが、平成10年度になってTheta関数による新しい視点を導入し、研究が急展開を見せ始めた。とりあえずの目標である、楕円曲線の、複素数体やp進体上の比較定理の「Arakelov版」ともいうべき結果を得て、その証明を書く作業に着手し、現時点では200頁を越す論文が、後二三カ月程で完成する見込みである。この結果の証明では、p進ホッジ理論を含む整数論と、古典的な調和解析(=様々な幾何に於けるLaplacianの固有関数や固有値の理論)の様々な側面が非常に有機的につながっていて、一つの「大域的な比較定理」を形成していることは特に興味深い。尚、Theta群というものが、モチーフ的な対象として、etale位相的な実現から、調和解析的な実現まで、様々な形で理論に現れていて、証明の「重要なテーマ」の一つになっていることも面白い。また、Theta群が統制している「対称性」の当然な帰結とはいえ、非可換幾何を連想させるところも現れていて、今までの研究の主要テーマだった双曲的曲線の数論的基本群とも関係がありそうな気配が漂っている。最終的には、この理論をDiophantus幾何に応用することを想定しているが、現時点では、まだ理論の基礎の構築だけでも精一杯で、応用は直ちには期待出来そうな状況ではないが、平成10年度までは、理論すら全くなかったことを考えると、大きな進歩を遂げたといっていいと思う。