複素空間形内のラグランジアン曲面

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昨年度に引き続き,リーマン面Mから複素2次元平面C^2内へのLagrangianはめ込みの構成・存在問題を,そのLagrangian角度関数β:M→S^1の観点から考察した.すなわち,論文'Totally real surfaces in the complex 2-space'(Steps in Differential Geometry, Proc.of the Colloauium on Differential Geometry, Debrecen, Hungary(2001)15-22)に発表した表現公式に基づいて,Lagrangian曲面の構成法および変形可能性について検討した.この表現公式は,Lagrangian角度関数β(の導関数)を係数とするディラック型方程式(1階線形偏微分方程式系)の解としてLagrangian曲面を表現するもので,βが一定の場合はCauchy-Riemann方程式の解(すなわちC^2への正則写像)として極小Lagrangian曲面を表すものに他ならない.プレプリント'Lagrangian surfaces with circle symmetry in the complex two-space'では,その表現公式のスピン解析的視点からの意味付けを明確にした上で,与えられた1変数関数β(s):I→RをLagarangian角度としてもつI×S^1からC^2へのLagrangianはめ込みf(s,t)を具体的に構成する方法を与えた.ここで構成したLagrangian曲面は3次元Euclid空間内の螺旋曲面および平面内の曲線と興味深い対応関係をもっており,実際,その関係に着目して,Lagrangian曲面を構成することができたのである.ところで,Lagrangian角度関数βは,そのLagrangian曲面を4次元Euclid空間の曲面とみなした場合に定義されるGeneralized Gauss写像の反自己双対部分である.Lagrangian曲面が共形的Maslov形式をもつとは,Generalized Gauss写像の自己双対部分である2次元球面への写像が調和写像であることと同値である.極小でないこのようなLagrangian曲面は,3次元Euclid空間内の平均曲率一定螺旋曲面と対応させて必ず構成されることがわかり,それはトーラスとなる.また一方,βが調和関数であるLagrangian曲面,すなわちハミルトン極小Lagrangian曲面を,前記の方法で構成すると,そのはめ込みf(s,t): R→C^2には必ず特異点が現れてしまう.曲面の変形によるこの特異点の解消方法について模索したが,今だ未解決である.