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負曲率多様体への調和写像と曲面

调和映射和曲面到负曲率流形

基本信息

批准号：
11740034
负责人：
芥川玲子
金额：
$ 1.41万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

H^3を定曲率-1の3次元双曲空間形とする。H^3を上半空間モデルで考えると、そこへの曲面Mのはめ込みに対して、Gauss写像Gを(Euclid空間E^3内の場合と同様に)定義できる。すなわち、GはMから単位2次元球面S^2への写像であり、normal Gauss写像と呼ばれる。E^3内の曲面と同様に、H^3内の曲面は平均曲率Hとこのnormal Gauss写像によって局所的には(Kenmotsu型表現公式に則って)決まってしまう。H^3内の平均曲率H一定(CMC-H)曲面について考えるとき、そのnormal Gauss写像Gは、E^3内のCMC曲面のGauss写像のようなS^2の標準計量に対する調和写像にはなっていない。しかし、S^2のある特殊な計量h_Hについては調和写像となっている。特に|H|<1の場合は、h_Hはある円周状に特異点を持っており、その内部ではh_Hは負曲率である。この計量h_Hを自然に拡張して、n次元単位開球D^n上に考えておく。すなわち、(D^n,g)は負曲率で、完備ではないが境界に近づくにつれて曲率は-∞に発散していて大変興味深い。そこで、m次元双曲空間形H^m(のPoincareモデル)から(D^n,g)への調和写像に対する無限円でのDirichlet問題を考え、解の一意性・存在及びreguralityを調べた。また、これらの結果を応用して、3次元双曲空間形内の完備で平均曲率一定H(|H|<1)の単連結曲面を、上記のDirichlet問題の解として得られる調和写像がそのnormal Gauss写像となるように構成できることを示した。

H^3 is a 3-dimensional hyperbolic space with a definite curvature of -1. G auss is written like Gを(the same situation in Euclid space E^3) definitionできる.すなわち, GはMから単2-dimensional spherical surface S^2へのWRITE image であり, normal Gauss writing image とHUばれる. The average curvature of the inner curved surface of E^3 and the average curvature of the inner surface of H^3 is Hとこのnormal Gauss. The average curvature H within H^3 is constant (CMC-H) surface normal Gauss is written like Gは, and the CMC surface in E^3 is written like Gauss is written like のようなS^2, the standard measurement is に対する, and the harmonic is written like にはなっていない.しかし, S^2のあるSpecial なmetering h_Hについては harmonious writing image となっている. Special case where |H|このmeasurement h_Hをnatural に拡张して, n-dimensional unit kick-off D^n上に考えておく.すなわち, (D^n,g)はnegative curvatureで, complete ではないが realm にNearly づくにつれてcurvature は-∞に発sanしていて大変 interested and deep い.そこで, m-dimensional hyperbolic space shape H^m(のPoincareモデル)から(D^n,g)へのharmonic writing image に対するInfinite yenでのDirichlet problemをtestえ, solutionのwillfulness・existenceびregularityをadjustedべた. The result of また、これらの is used して、The average curvature of the 3-dimensional hyperbolic space is complete and must be H(|H|<1) The solution to the Dirichlet problem of the single connected surface is the harmonized image of normal. Gauss writes like となるように constitutes できることをshows した.