定曲率空間形内の平均曲率一定曲面

等曲率空间形式的等平均曲率曲面

• 批准号: 09740051
• 负责人: 芥川 玲子
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1997
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1997 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740051/
• 关键词: 定曲率Riemann空間形; 部分多様体; 曲面; 表現公式; 平均曲率; Gauss写像; 調和写像; 定曲率Lorentz空間形; 空間的曲面

本年度は、昨年度に引き続き、定曲率3次元空間形内の曲面のKenmotsu型表現公式の構成を行い、これを統合的見地から完成させた。Kenmotsu型表現公式とは、定曲率cの3次元Riemann空間形M^3(c)(resp.Lorentz空間形M^3_1(c))内の(空間的)曲面Mを、その平均曲率関数Hと‘Gauss'写像g:M→S^2(resp.H^2)で記述された一階の偏微分方程式系の解として(局所的に)表現するものである。この表現を得るメカニズムは、定曲率空間形の等長変換群が正規直交標構束に推移的に作用しているという事実のもと、統一的に理解される。M^3(c)(resp.M^3_1(c))内の平均曲率H一定(CMC H)(空間的)曲面Mが、写像g:M→S^2(resp.H^2)でKenmotsu型表現されるための可積分条件は、gが、c≧0(resp.c≦0)のときは標準単位球面(resp,双曲平面)への、c<0(resp.c>0)の場合にはある計量h_<C,H>をもつS_2(〓CU{∞})への調和写像であることである。この計量h_<C,H>は、|H|<√<|C|>同の場合は特異点をもつが、単位円板D_2上には(完備ではない負曲率)Riemann計量を定める。適当に与えられた境界値条件に応じて、双曲平面から(D^2,h_<C,H>)への調和写像(Dirichlet問題の解)が存在することが分かり、Kenmotsu型表現公式を適用して、それをGauss写像としてもつようなM^3(c)(c<0)内のCMCH(|H|<√<|C|>)完備な単連結曲面が作れることを示した。ちなみに、M^<13>(c)(c>0)内のCMCH(|H|<√<|C|>)空間的曲面は、M^3(-c)内のCMCH曲面と双対関係にあることを注意しておく。調和写像は2階の楕円型偏微分方程式の解であるが、‘Gauss'写像gによってMに導入されるスピン構造を考えることにより、可積分条件を1階の非線型Dirac方程式として表すこともできる。そのしくみを明確にしたが、その応用についてはこれからの研究課題の一つとなっている。

This year's Kenmotsu expression formula for curved surfaces in three-dimensional spaces with constant curvature has been completed. Kenmotsu's expression formula describes the solution of a system of first-order partial differential equations in a three-dimensional Riemann space form M ^3 (c)(resp.Lorentz space form M ^3 (c)). The expression of this problem can be divided into two parts: the first part is the function of the transformation of the constant curvature space shape and the second part is the function of the transformation of the normal orthogonal structure. A surface M with constant mean curvature H (CMC H)(spatial) in M^3(c)(resp.M^3_1(c)) is represented by a Kenmotsu integral g →S^2(resp.H^2), c ≥ 0(resp.c ≤ 0) and c<0(resp.c>0). H_<C,H>| H| <√<|C|> In the same case, the unique point is not fixed, and the single position is not fixed on the D_2 (complete and negative curvature)Riemann measurement. The condition of boundary value is appropriate, hyperbolic plane (D^2, h_<C,H>)| H| <√<|C|>) Complete linked surfaces are shown. CMCH in, M^<13>(c)(c&gt;0)| H| &lt;√&lt;|C|&gt;) The surface of the space is opposite, and the CMCH surface in M^3(-c) is opposite to each other. A harmonic image is obtained by solving a second-order nonlinear partial differential equation. A Gauss image is obtained by introducing an integral condition into a first-order nonlinear Dirac equation. The research topic is clear and specific.

项目成果

R.Aiyama and K.Akutagawa: "Representation formulas for surfaces in H^3(-c^2)and harmonic maps arising from CMC surfaces" Harmonic Morphisms,Harmonic Maps and Related Topics(edited by J.C.Wood et al.,Brest 1997),Pitman Research Notes in Math.Series. (発表予定)

R.Aiyama 和 K.Akutakawa：“H^3(-c^2) 中曲面的表示公式和 CMC 曲面产生的调和映射” Harmonic Morphisms、Harmonic Maps 和相关主题（由 J.C.Wood 等人编辑，Brest 1997） ），皮特曼数学系列研究笔记（待出版）。

R.Aiyama and K.Akutagawa: "Kenmotsu-Bryant type representation formula for constant mean curvature spacelike surfaces in H^3_1(-c^2)" Differential Geometry and its Applications. 9. 251-272 (1998)

R.Aiyama 和 K.Akutakawa：“H^3_1(-c^2) 中常平均曲率空间曲面的 Kenmotsu-Bryant 型表示公式”微分几何及其应用。

R.Aiyama and K.Akutagawa: "Kenmotsu-Bryant type representation formulas for constant mean curvature surfaces in H^3(-c^2)and S^3_1(c^2)" Annals of Global Analysis and Geometry. 17. 49-75 (1999)

R.Aiyama 和 K.Akutakawa：“H^3(-c^2) 和 S^3_1(c^2) 中常平均曲率曲面的 Kenmotsu-Bryant 型表示公式”全局分析与几何年鉴。

Reiko Aiyama: "Kenmotsu-Bryant type representation formula for constant mean curvature spacelike surfaces in H^3(-C^2)" Diff.Geometry and its Applications. (発表予定).

Reiko Aiyama：“H^3(-C^2) 中的常平均曲率空间曲面的 Kenmotsu-Bryant 型表示公式”Diff.Geometry 及其应用（即将介绍）。