可積分系理論の応用による双曲型空間の曲面論の研究

应用可积系统论研究双曲空间曲面理论

• 批准号: 13740052
• 负责人: 國分 雅敏
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: Tokyo Denki University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740052/
• 关键词: 曲面; 曲率; 双曲型空間; 可積分系

本研究においては,ユークリッド空間の極小曲面,平均曲率一定曲面,および3次元双曲型空間内の平均曲率一定曲面,ガウス曲率一定曲面を主に研究した.ユークリッド空間の極小曲面や3次元双曲型空間内の平均曲率が一定値1のときは,正則な微分形式とその積分で曲面が書き表されることがよく知られている.しかし,積分が表に現れないタイプの公式も存在する.それらの公式の初等的な証明を改良することができ,なおかつ奇数次元ユークリッド空間の等方的極小曲面に一般化した公式の明確な証明を与え,それを用いてCatenoidやEnneper曲面から次々と例を構成する方法を与えた.また,奇数次元ユークリッド空間の完備な等方的極小曲面のなかでCatenoidはChern-Ossermann不等式および江尻の不等式で等号が成り立つ唯一のものであるという特徴づけ定理を証明した.一方,3次元双曲型空間のガウス曲率が一定値0の曲面も正則な微分形式とその積分で書き表すことができるが,2つの双曲型ガウス写像と呼ばれる幾何学的な不変量から再構成されることについて詳しく調べた.それにより,今までに知られていない例を作ることができた.具体的には,任意の完備なエンドの個数をもつ,種数0の特異点つき平坦曲面を,いくつも構成することができた.楕円関数を用いることにより,種数1の例の構成にも成功した.また,エンドの完備性などにこだわらなければ,それらの例を容易に構成することができるMathematicaとMaple用のプログラミングを書いた.一方,3次元双曲型空間の平坦曲面の方程式と3次元ユークリッド空間の平均曲率一定曲面の方程式に類似性を見出した.これにより,Dorfmeister, Pedit, Wuらによる可積分理論の応用による方法の適用が期待される.

This study focuses on the minimal surface in the においては, ユークリッド space, the surface with a constant average curvature, and the および3-dimensional hyperbolic space. A surface with a constant mean curvature, a surface with a constant curvature, a minimal surface in a space, and a 3-dimensional hyperbola. The average curvature in the space must have a certain value of 1, and the regular differential form is the integral and the surface is the book and the table is the table.くknow られている.しかし, the integral table にappears れないタイプの Formula する.それらの Formula の elementary proof Ming's improved することができ, なおかつodd-dimensional ユークリッドspaceのisosquare's generalized minimal surface formulaした formulaのIt is clearly proved that を and え, それを is composed of いてCatenoidやEnneper surface and から时々と exampleを法を与えた.また, odd-dimensional ユークリッドspaceのcompleteなequilateral minimal surface のなかでCatenoidはChern-Ossermann inequality および江尻のinequality でequal sign が成り立つonly のものであるというThe special theorem is proved. One side, the curvature of the 3-dimensional hyperbolic space is a regular surface with a certain value of 0, and the differential form isとそのintegral で书きTable すことができるが, 2つのhyperbolic ガウスwrite like とcall ばれるgeometry な不変quantityからThe composition is composed of されることについて detail and しくtone. .Concrete には, arbitrary のcomplete なエンドのnumber をもつ, number of 0 のsingular points つきflat curved surface を, いくつも constitute することができた.楕円关数を用いることにより, number of species 1のcaseの constitutes にもsuccessful した.また, エンドのcomplete Sexなどにこだわらなければ,それらの ExampleをeasyにConstitutionすることができるMathematicaとM aple uses the formula of a flat surface in a 3-dimensional hyperbolic space and a 3-dimensional equationリッドspaceのaverage curvature surfaceのequationにsimilarityを见出した.これにより,Dorfmeister, Pedit, Wu's application of the integrable theory and its application and expectations.

项目成果

Masatoshi Kokubu: "On isotropic minimal surfaces in Euclidean space"Advanced Studies in Pure Mathematics. 34. 155-171 (2002)

Masatoshi Kokubu：“欧几里得空间中的各向同性极小曲面”纯数学高级研究。