可積分系理論の応用による双曲型空間の曲面論の研究

本研究においては,ユークリッド空間の極小曲面,平均曲率一定曲面,および3次元双曲型空間内の平均曲率一定曲面,ガウス曲率一定曲面を主に研究した.ユークリッド空間の極小曲面や3次元双曲型空間内の平均曲率が一定値1のときは,正則な微分形式とその積分で曲面が書き表されることがよく知られている.しかし,積分が表に現れないタイプの公式も存在する.それらの公式の初等的な証明を改良することができ,なおかつ奇数次元ユークリッド空間の等方的極小曲面に一般化した公式の明確な証明を与え,それを用いてCatenoidやEnneper曲面から次々と例を構成する方法を与えた.また,奇数次元ユークリッド空間の完備な等方的極小曲面のなかでCatenoidはChern-Ossermann不等式および江尻の不等式で等号が成り立つ唯一のものであるという特徴づけ定理を証明した.一方,3次元双曲型空間のガウス曲率が一定値0の曲面も正則な微分形式とその積分で書き表すことができるが,2つの双曲型ガウス写像と呼ばれる幾何学的な不変量から再構成されることについて詳しく調べた.それにより,今までに知られていない例を作ることができた.具体的には,任意の完備なエンドの個数をもつ,種数0の特異点つき平坦曲面を,いくつも構成することができた.楕円関数を用いることにより,種数1の例の構成にも成功した.また,エンドの完備性などにこだわらなければ,それらの例を容易に構成することができるMathematicaとMaple用のプログラミングを書いた.一方,3次元双曲型空間の平坦曲面の方程式と3次元ユークリッド空間の平均曲率一定曲面の方程式に類似性を見出した.これにより,Dorfmeister, Pedit, Wuらによる可積分理論の応用による方法の適用が期待される.

本研究においては,ユークリッド空間の極小曲面,平均曲率一定曲面,および3次元双曲型空間内の平均曲率一定曲面,ガウス曲率一定曲面を主に研究した.ユークリッド空間の極小曲面や3次元双曲型空間内の平均曲率が一定値1のときは,正則な微分形式とその積分で曲面が書き表されることがよく知られている.しかし,積分が表に現れないタイプの公式も存在する.それらの公式の初等的な証明を改良することができ,なおかつ奇数次元ユークリッド空間の等方的極小曲面に一般化した公式の明確な証明を与え,それを用いてCatenoidやEnneper曲面から次々と例を構成する方法を与えた.また,奇数次元ユークリッド空間の完備な等方的極小曲面のなかでCatenoidはChern-Ossermann不等式および江尻の不等式で等号が成り立つ唯一のものであるという特徴づけ定理を証明した.一方,3次元双曲型空間のガウス曲率が一定値0の曲面も正則な微分形式とその積分で書き表すことができるが,2つの双曲型ガウス写像と呼ばれる幾何学的な不変量から再構成されることについて詳しく調べた.それにより,今までに知られていない例を作ることができた.具体的には,任意の完備なエンドの個数をもつ,種数0の特異点つき平坦曲面を,いくつも構成することができた.楕円関数を用いることにより,種数1の例の構成にも成功した.また,エンドの完備性などにこだわらなければ,それらの例を容易に構成することができるMathematicaとMaple用のプログラミングを書いた.一方,3次元双曲型空間の平坦曲面の方程式と3次元ユークリッド空間の平均曲率一定曲面の方程式に類似性を見出した.これにより,Dorfmeister, Pedit, Wuらによる可積分理論の応用による方法の適用が期待される.