曲面論への可積分系理論の応用に関する研究

可积系统理论在曲面理论中的应用研究

• 批准号: 11740049
• 负责人: 國分 雅敏
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Tokyo Denki University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1999 至 2000
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740049/
• 关键词: 曲面; 平均曲率; 双曲型空間; 可積分系; 曲面論; 極小曲面

本研究においては,3次元双曲型空間内の平均曲率一定曲面,およびある種の非コンパクト型対称空間の曲面でその一般化にあたるものを主に研究した.3次元双曲型空間内の平均曲率一定曲面を与えるために,リーマン面のスピン構造に着目して得られる方程式が無限次元のハミルトン系であることを示し,その中でもとくに平均曲率一定な回転面,らせん面を記述する方程式はそれぞれ2次元,4次元の有限次元完全積分可能なハミルトン系であることを示した.その応用として,計算機を使い,平均曲率一定な回転面,らせん面のグラフィクスを与え,視覚的に曲面の形を明らかにした.また,平均曲率が一定値1のときは,正則な微分形式とその積分で曲面が書き表されることがよく知られているが,積分を使わない公式も存在する.その公式の初等的な証明を与えることができた.3次元双曲型空間をモデルとしたある種の非コンパクト型対称空間内の曲面にたいしては,ガウス写像を定義しそれが複素射影空間への正則写像となるような曲面について研究した.これらは,ユークリッド空間の極小曲面の一般化とも解釈することができ,微分幾何的に重要な曲面と言える.これらについては,双曲型空間の平均曲率が一定値1の曲面にほぼ同等の性質を持っていることを解明することができた.また,その曲面にたいするフレネ方程式の可積分条件のゲージ理論的解釈についても調べた.一方,高次元のユークリッド空間の完備極小曲面とその全曲率に関する研究も行った.ワイアシュトラスの表現公式を一般化した公式を応用することにより,いくつかの新しい完備極小曲面を構成した.これらは,よく知られたエネッパーの曲面,カテノイド,トライノイドの一般化と言える.また,全曲率に関するチャーン・オッサーマンの不等式,江尻の不等式に関連して,カテノイドの特徴づけ定理をひとつ証明した.

In this paper, we mainly study the generalization of surfaces with constant mean curvature in hyperbolic spaces of three dimensions, and obtain equations for infinite hyperbolic systems of three dimensions. The equation for describing the mean curvature of a finite dimensional integral of 2-D and 4-D is shown in the following table. The average curvature of a curved surface is determined by the computer. The mean curvature is constant and the integral is regular. The elementary proof of the formula and the study of the surface in the non-symmetric space of the 3-dimensional hyperbolic space. A generalized solution of minimal surfaces in differential geometry is presented. The mean curvature of a hyperbolic space has a constant value of 1, and the surface has the same properties. A theoretical solution of the integrable condition of the equation for a curved surface. A study on complete minimal surfaces and total curvatures in square and high dimensional space. The expression formula is generalized and the formula is used to construct a new complete minimal surface. This is the first time I've ever seen a person who's been in a relationship with someone who's been in a relationship with someone else. For example, the inequality of total curvature, the inequality of Jiang Ji, the characteristic theorem of total curvature.

项目成果

Masatoshi Kokubu: "On isotropic minimal surfaces in Euclidean space"Advanced Studies in Pure Mathematics. (掲載予定).

Masatoshi Kokubu：“关于欧几里德空间中的最小各向同性表面”纯数学高级研究（待出版）。

Masatoshi Kokubu: "On a construction of higher codimensional minimal surfaces based on Enneper's surface and the catenoid"数理解析研究所講究録. 1113. 65-84 (1999)

Masatoshi Kokubu：“基于 Enneper 曲面和悬链线的更高维极小曲面的构造”，数学研究所 Kokyuroku，1113. 65-84 (1999)。

Masatoshi Kokubu: "On a construction of higher codimensional minimal surfaces based on Ennepers surface and the catenoid"京都大学数理解析研究所講究録. 1113. 65-84 (1999)

Masatoshi Kokubu：“基于 Ennepers 曲面和悬链线的更高维最小曲面的构造”京都大学数学科学研究所 Kokyuroku 1113. 65-84 (1999)。

Masatoshi Kokubu: "Hamiltonian systems derived from constant mean curvature surfaces in hyperbolic three-space"Geometriae Dedicata. 77. 253-269 (1999)

Masatoshi Kokubu：“从双曲三空间中的恒定平均曲率表面导出的哈密尔顿系统”Geometriae Dedicata。

Masatoshi Kokubu : "On surfaces with holomorphic Gauss map in a certain symmetric space "Josai Mathematical Monograph. 3巻. 37-41 (2001)

Masatoshi Kokubu：“在某个对称空间中具有全纯高斯映射的表面”城西数学专着第3卷37-41（2001）。