界面運動及び自由境界問題の数理的解析に関する研究

平面内の曲線の曲率運動、多角形のクリスタライン運動、及びクリスタライン・アルゴリズムの収束性の3項目において、研究成果を得ることができた。3項目についてその概要を説明していく。平面閉曲線の曲率運動については、1980年代より盛んに研究されている。1986年、Abresch及びLangerにより、古典的曲率流方程式の自己相似解の分類がなされた。中村健一氏(電気通信大学)と私は、彼らの証明の問題点を発見し、それを修正するとともに、新たな証明方法を提案した。結果は国内の学会や研究集会で発表された。現在投稿準備中である。この方法はより一般の曲率流方程式の分類にも一部適用できることがわかった。完全な分類についてはこれからの課題である。次に、クリスタライン運動の解の爆発時刻付近での挙動について調べた。そして、石渡哲哉氏(岐阜大学)と共に、いわゆるtypeIIとよばれる型の爆発のオーダーの抽出に成功し、国内学会や国際学会で発表した。現在のところtypeIIのオーダーはわずかしか知られていない。この結果は論文掲載が決まっているが、より一般の状況設定のもとでの証明もすでに得られている。これについては現在投稿準備中である。最後に牛島健夫氏(東京理科大学)と共同で、面積保存曲率運動に対する面積保存クリスタライン・アルゴリズムの提案とその収束性について証明を与えることができた。一般に、非局所項をもつ放物型偏微分方程式に対する数値近似は、比較定理が使えないので、やや工夫を要する。われわれは、解のアプリオリ評価と離散ソボレフノルムを用いて証明に成功した。この結果は現在審査中である。

平面内の曲線の曲率運動、多角形のクリスタライン運動、及びクリスタライン・アルゴリズムの収束性の3項目において、研究成果を得ることができた。3項目についてその概要を説明していく。平面閉曲線の曲率運動については、1980年代より盛んに研究されている。1986年、Abresch及びLangerにより、古典的曲率流方程式の自己相似解の分類がなされた。中村健一氏(電気通信大学)と私は、彼らの証明の問題点を発見し、それを修正するとともに、新たな証明方法を提案した。結果は国内の学会や研究集会で発表された。現在投稿準備中である。この方法はより一般の曲率流方程式の分類にも一部適用できることがわかった。完全な分類についてはこれからの課題である。次に、クリスタライン運動の解の爆発時刻付近での挙動について調べた。そして、石渡哲哉氏(岐阜大学)と共に、いわゆるtypeIIとよばれる型の爆発のオーダーの抽出に成功し、国内学会や国際学会で発表した。現在のところtypeIIのオーダーはわずかしか知られていない。この結果は論文掲載が決まっているが、より一般の状況設定のもとでの証明もすでに得られている。これについては現在投稿準備中である。最後に牛島健夫氏(東京理科大学)と共同で、面積保存曲率運動に対する面積保存クリスタライン・アルゴリズムの提案とその収束性について証明を与えることができた。一般に、非局所項をもつ放物型偏微分方程式に対する数値近似は、比較定理が使えないので、やや工夫を要する。われわれは、解のアプリオリ評価と離散ソボレフノルムを用いて証明に成功した。この結果は現在審査中である。