螺旋転位による結晶成長モデルにおける空間的非一様性の影響に関する研究

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螺旋転位による結晶成長の数理モデルとして提案された、2次元領域上の空間的に一様でない非線形性をもつ反応拡散方程式(以下では、単にモデル方程式と呼ぶ)に現れる解の定性的性質を調べることが本研究の目的である。今年度は、モデル方程式にさまざまな空間的非一様性が入った場合についての研究を進めることにより、転位が複数段起こった場合の結晶成長のメカニズム、および、結晶構造の空間的非一様性が結晶の成長速度に与える影響について謂べた。具体的には、以下の研究成果を得ることができた。転位がn段起きた場合のモデル方程式においては、解は時間が経過するとともに360/n°の回転に関して対称な形状に漸近していく、すなわち、界面(転位を表す段差)は互いに反発し合い位置を移動しながら結晶が成長いくことを示した。この結果はさらに、たんぱく質などの、結晶構造に360/m°(ただし、mはnの倍数)回転に関して対称な異方性がある場合のモデル方程式においても成り立つことを示した。また、モデル方程式に関連した拡散項に空間非一様性が入ったR上の反応拡散方程式を導出し、この方程式に対して数値計算を行い進行波解の速度を調べた。現在までのところ、空間非一様な場合の速度は空間一様な場合より常に遅くなるという計算結果を得ている。このことは、モデル方程式においても拡散項や領域の形状に空間的非一様性を入れることにより解の成長速度が抑制されることを示唆している。