正則写像半群ならびにバンドル上の複素力学系の研究

1次元有理関数半群(以下有理半群)のリーマン球面上の力学系と、それに関連して、ファイバーがリーマン球面となるファイバーバンドル上の写像でファイバーごとには正則になっているものの力学系(以下バンドル上の複素力学系)について調べた。バンドル上の複素力学系については、半双曲性を持つ場合について、(1)ファイバーごとのジュリア集合がporosityと呼ばれる疎な性質を持ち、その定数はファイバーによらないこと、(2)よってその系としてファイバーごとのハウスドルフ次元がファイバーによらない2未満の定数でおさえられること、(3)多項式歪積であることをさらに仮定するとファイバーごとの無限遠吸引域はジョン領域とよばれる良い性質をもつことを示した。(3)を示すために、(4)ファイバーごとのジュリア集合が一様完全であり、その定数がファイバーによらない、ことを示して使った。(4)は半双曲性など仮定せずに得られる結果である。また、(5)半双曲性のもとである種の剛性定理がなりたつ、ことも示した。半双曲性と、「開集合条件」と呼ばれる条件を満たす有限生成有理半群の力学系のジュリア集合が、やはりporosityをもち、その結果としてハウスドルフ次元が2未満であることも示した。また、平面上の臨界値集合が有界であるような多項式半群の力学系について詳しく調べ、ジュリア集合の構造、ファトウ集合上での極限関数について結果を得た。ジュリア集合が非連結のとき、ジュリア集合の連結成分全体については、互いに囲む、囲まれるの順序が全順序になること、よってファトウ集合の各連結成分が単連結か二重連結になることを示した。極限関数については、一番内側に集まる性質を示した。また、列ごとのジュリア集合について、多くのものが擬円になることを示した。

1次元有理関数半群(以下有理半群)のリーマン球面上の力学系と、それに関連して、ファイバーがリーマン球面となるファイバーバンドル上の写像でファイバーごとには正則になっているものの力学系(以下バンドル上の複素力学系)について調べた。バンドル上の複素力学系については、半双曲性を持つ場合について、(1)ファイバーごとのジュリア集合がporosityと呼ばれる疎な性質を持ち、その定数はファイバーによらないこと、(2)よってその系としてファイバーごとのハウスドルフ次元がファイバーによらない2未満の定数でおさえられること、(3)多項式歪積であることをさらに仮定するとファイバーごとの無限遠吸引域はジョン領域とよばれる良い性質をもつことを示した。(3)を示すために、(4)ファイバーごとのジュリア集合が一様完全であり、その定数がファイバーによらない、ことを示して使った。(4)は半双曲性など仮定せずに得られる結果である。また、(5)半双曲性のもとである種の剛性定理がなりたつ、ことも示した。半双曲性と、「開集合条件」と呼ばれる条件を満たす有限生成有理半群の力学系のジュリア集合が、やはりporosityをもち、その結果としてハウスドルフ次元が2未満であることも示した。また、平面上の臨界値集合が有界であるような多項式半群の力学系について詳しく調べ、ジュリア集合の構造、ファトウ集合上での極限関数について結果を得た。ジュリア集合が非連結のとき、ジュリア集合の連結成分全体については、互いに囲む、囲まれるの順序が全順序になること、よってファトウ集合の各連結成分が単連結か二重連結になることを示した。極限関数については、一番内側に集まる性質を示した。また、列ごとのジュリア集合について、多くのものが擬円になることを示した。