流体中の渦の運動に関するオイラー方程式の研究

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流体中の渦の運動に関してオイラー方程式を調べることは、乱流現象の解明とも関連し、興味深い研究テーマの一つである。アメリカのG.K.Vallisらは、人工的な項を加えた非定常オイラー方程式が、また、イギリスのH.K.Moffattは、完全電気伝導度と粘性をもつ非定常電磁流体の方程式系が時刻無限大でオイラー方程式の定常解を生み出し、更に、その解は初期条件と同じ幾何学的構造をもつという主張をした。このアプローチは、従来2次元定常オイラー方程式の可解性の問題に関して用いられてきた変分法とは全く異なったものである。もし彼らの理論が正しければ、複雑な渦線をもつ初期条件を与えることにより、定常オイラー方程式に対する複雑な渦をもつ解を得ることができ、乱流現象の解明に一つの方向性を与えることになる。しかし、彼らの理論を数学的に厳密に直接証明することは難しいように見える。そこで、まずVallisらのアイデアを参考にして新しい方程式を考案し、差分法と組み合わせると、2次元定常オイラー方程式に対する解が構成できることを厳密に証明した。この証明法の特徴は、差分幅を0に近付けるのと時刻を無限大にするのを同時に行うところにある。更に、Moffattの電磁流体方程式系と同じ性質をもつ、より簡便な形の新しい方程式をいくつか提案した。これらにより、3次元の場合、ガレルキン法との組み合わせで、オイラー方程式に対する弱い意味での解を構成できることが厳密に証明される。