ディラック作用素とクリフォード代数の一般化と諸分野への応用

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ディラック作用素を一般化した共形共変一階微分作用素を幾何学、解析学の視点から考察することが本研究の目的である。昨年度の研究でケーラー多様体上ユニタリ群不変一階微分作用素の表象がユニタリ群の普遍展開環と関係し、ボホナー-ワイゼンベック公式(以下,BW公式)が高次カシミール元の関係式に対応することを示した。今年度は、まず、その応用としてケーラー多様体上正則同伴ベクトル束の正則切断に対するいくつかの消滅定理を与えた。次に、同様の議論を直交群に対して行い、リーマン多様体上の共形共変一階微分作用素に対するBW公式を非常に簡明な形ですべて書き下した。ここで普遍展開環の高次カシミール元の関係式とBW公式が一対一対応することは注目すべき結果であり、各微分作用素に対するBW公式はすべて「普遍ボホナーワイゼンベック公式」なるものから導かれる.また、この結果はT.BransonによるBW公式に別証明を与えることにもなり、問題の本質を捉えたものになっている。次に古典群がC型の場合を考察し同様の結果を与えた。すなわち超ケーラー多様体上のシンプレクティック群不変一階微分作用素に対するBW公式を書き下した。以上の研究成果について国際会議などで発表を行い、論文を学術雑誌に投稿中である。さて、これら研究成果を踏まえると、微分作用素の楕円性についても表現論の視点から解釈できることがわかる。また、楕円型共形共変一階微分作用素に対する局所指数定理のGetzler流の証明が可能であることも示唆される。これらに関しては現在研究中である。