共形共変一階微分作用素の微分幾何学、大域解析学の視点からの研究

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今年度の研究では,昨年度の研究に引き続き,まずリーマン多様体またはスピン多様体上の共形共変一階微分作用素の研究を行った.主な研究成果はパフィアン型カシミール元から導かれるボホナーワイゼンベック公式とT.Bransonによる階数零の共形共変作用素の対応を与えたことである.Bransonは難解な調和解析的手法を用いているが,今回の研究成果はそれに対する簡明な証明を与えたことになる.また系として,Branson-Hijazi型の消滅定理の曲率項の具体的表示,アインシュタインテンソルが消えるボホナーワイゼンベック公式の分類に成功した.次に,四元数ケーラー多様体上の幾何学的一階微分作用素に対するボホナーワイゼンベック公式を書き下し,ホッジーラプラシアンのスカラー曲率による固有値評価を行った.四元数ケーラー幾何における消滅定理や固有値評価はツイスター幾何を用いた手法など様々であるが,そのような既知の結果をほぼ網羅する形の公式を与えたことになる.手法は以下のよう.1.Sp(n),Sp(1)の展開環のカシミール元に対応した普遍ボホナーワイゼンベック公式を書き下した.2.Sp(n)カシミール元の固有値を共形重みを使って計算可能な形にした.3.微分形式のベクトル束上の曲率作用の関係式をクリフォード代数およびカシミール元を用いて計算した.4.上記1,2,3を用いてホッジ-ラプラシアンのスカラー曲率による固有値評価を完全な形で行った.5.固有値評価の系として,様々な消滅定理に対する別証明を与えた.また,上記の研究に対する研究打ち合わせ及び研究成果発表のため,海外出張を二回行った,今後の研究課題としては,四元数ケーラー幾何への応用及びG2,Spin(7)に対するボホナーワイゼンベック公式が挙げられる.