曲面上の射影構造とクライン群の変形空間の境界挙動

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現在まで有限生成クライン群,特に擬フックス群の変形空間を,曲面上の射影構造との関係を通して研究している.射影構造空間において擬フックス群ホロノミーを持つ射影構造の集合は無限個の連結成分を持つが,この各成分は自己接触し任意の2つの成分は互いに接触することを明らかにした.この結果を論文「Exotic projectives structures and quasi-fuchsian spaces II」にまとめ投稿した.上記の結果は各成分間の接ぎ木写像が不連続となる現象に注目することで得られるのだが,逆にある意味においては連続であることを示すことにより,擬フックス群に関するGoldman's grafting theoremを擬フックス群空間の境界群にまで拡張できることを示した.これは論文「On continuous extension of grafting maps」として準備中である.一方で,3次元球面S^3の等角写像全体の成す群Conf(S^3)の離散部分群の研究をした.特にクライン群(Conf(S^2)の離散部分群)のConf(S^3)の中での変形空間を考察することで,今まで研究してきたConf(S^2)での変形空間に対して一段高い見地を得ることを目指している.具体的にはConf(S^2)におけるonce punctured torus groupに関する理論をConf(S^3)において構築する研究を荒木氏(東大)と共同で行った.すなわち特異3次元トーラス上の等角構造を一意化するConf(S^3)のクライン群を考え,その群の極限集合や変形空間(Maskit slice)の3次元コンピュータグラフィックスを描かせる試みを行った.