コーエン・マコーレー環の特徴付けに関するホモロジー代数の新機軸

1.剰余体のシジジーの直和因子IS.P.Duttaは,ホモロジー予想の研究を通して「剰余体のあるシジジーが射影次元有限な直和因子を持つような局所環は正則である」という定理を与えた。このことから,剰余体のあるシジジーがG次元有限な直和因子を持つような局所環はGorensteinだろうと自然に予想される。私はこの予想が第2シジジーまでなら正しいことを証明した。さらに第2シジジーが直可約なGorenstein環に焦点を絞り,その環の構造を本質的に一通りに決定した。2.剰余体のシジジーの直和因子II半双対化加群は階数1の自由加群とCohen-Macaulay環の標準加群の共通の一般化にあたる加群である。上記1で述べたDuttaの定理は「剰余体のあるシジジーが自由因子を持つ局所環は正則である」と言い換えられるが,これに関連して,剰余体のあるシジジーが準双対化加群を直和因子に持つ局所環は何なのかを考え,それもまた正則になることを証明した。(従ってこれはDuttaの定理を含む。)さらに上記1で述べた(ものと同値な)問題「剰余体のあるシジジーがG次元0の直和因子を持つ局所環はGorensteinか?」が,[環の深さ+2]番目までのシジジーについては正しいことを示した。3.G入射次元有限な有限生成加群「入射次元有限な有限生成加群を持つ環はCohen-Macaulay環である」という定理はかつてBass予想と呼ばれ,1980年代に完全解決したPeskine-Szpiroの交差定理の系として得られる。私は,入射次元が有限な加群はG入射次元も有限であることに着目して,G入射次元有限な有限生成加群を持つ環がCohen-Macaulay環かどうかという問題を考えた。まずFoxby同値と呼ばれる圏同値に留意し,入射次元とKrull次元の間のよく知られた不等式のG入射次元版を与えた。そしてその不等式を用いて,もとの問題が多少の仮定のもとに成り立つことを証明した。

1.剰余体のシジジーの直和因子IS.P.Duttaは,ホモロジー予想の研究を通して「剰余体のあるシジジーが射影次元有限な直和因子を持つような局所環は正則である」という定理を与えた。このことから,剰余体のあるシジジーがG次元有限な直和因子を持つような局所環はGorensteinだろうと自然に予想される。私はこの予想が第2シジジーまでなら正しいことを証明した。さらに第2シジジーが直可約なGorenstein環に焦点を絞り,その環の構造を本質的に一通りに決定した。2.剰余体のシジジーの直和因子II半双対化加群は階数1の自由加群とCohen-Macaulay環の標準加群の共通の一般化にあたる加群である。上記1で述べたDuttaの定理は「剰余体のあるシジジーが自由因子を持つ局所環は正則である」と言い換えられるが,これに関連して,剰余体のあるシジジーが準双対化加群を直和因子に持つ局所環は何なのかを考え,それもまた正則になることを証明した。(従ってこれはDuttaの定理を含む。)さらに上記1で述べた(ものと同値な)問題「剰余体のあるシジジーがG次元0の直和因子を持つ局所環はGorensteinか?」が,[環の深さ+2]番目までのシジジーについては正しいことを示した。3.G入射次元有限な有限生成加群「入射次元有限な有限生成加群を持つ環はCohen-Macaulay環である」という定理はかつてBass予想と呼ばれ,1980年代に完全解決したPeskine-Szpiroの交差定理の系として得られる。私は,入射次元が有限な加群はG入射次元も有限であることに着目して,G入射次元有限な有限生成加群を持つ環がCohen-Macaulay環かどうかという問題を考えた。まずFoxby同値と呼ばれる圏同値に留意し,入射次元とKrull次元の間のよく知られた不等式のG入射次元版を与えた。そしてその不等式を用いて,もとの問題が多少の仮定のもとに成り立つことを証明した。