精度保証による非線形方程式の大域的性質の解明

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我々は平成17年度において、Driven-Cavity問題の制度保証に現れる定数の導出、および、孤立波の大域的な一意存在性についての研究を行った。1.Driven-Cavity問題の精度保証に現れる定数の導出Driven-Cavity問題は流体の分野における典型的なベンチマーク問題であり、その厳密な解を精度保証付きで求める事は非常に重要である。この問題を3次スプライン補間を用いて有限要素法で解くとき、H^2_0ノルムで測った離散化誤差は解のH^4セミノルムで押さえられる。しかし、効率的に精度保証を行うためには、これを更にダブルラプラシアンのL_2ノルムで評価してやらねばならない。その評価に現れる定数は、存在は示されているが、今まで厳密な値は知られていなかった。この値を、いくつかの条件を仮定した上で求めることが出来た。2.孤立波の大域的な一意存在性孤立波の運動を記述した方程式としてYamadaの方程式が知られている。この方程式の正値解の大域的な存在と一意性について精度保証付き数値計算による検証を試みた。Yamadaの方程式は無限遠点を有限区間に変換しているため、非線形性が非常に強く、解を精度保証する際には困難が伴う。我々は、無限遠点に相当する点の付近で漸近解析を行い、その点の付近では漸近解析の結果を用い、それ以外の範囲においては区分2次多項式で解の範囲を限定する事により、ある一定範囲のパラーメータにおいてYamadaの方程式の正値解の大域的な存在と一意性を示すことができた。