新たな段階に入った有限要素法基盤の精度保証付き数値計算の進展

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有限要素法の各手法の中で不連続ガレルキン法はよく用いられているが、通常の不連続ガレルキン法は、与えられたペナルティーパラメータを固定する場合、異方的なメッシュ上では不安定になる。それを回避するために、異方的な単体で成り立つトレース不等式を使って、新たな不連続ガレルキン法のスキームを提案した。さらに、新しい不連続ガレルキン法の誤差解析に関する定理を証明し、さらに数値実験でその正しさを確かめた。ヒルベルト空間における無限次元線形作用素の可逆性と逆作用素ノルムを数学的に厳密な意味で検証する新しい精度保証付き数値計算アルゴリズムを提案し、その有効性を様々な微分作用素に対し実証した。また、Kolmogorov問題の精度保証付き数値計算を効率化するために必要な、ノルム定数の評価を大幅に改善した。3次元の流体方程式に対する精度保証付き数値計算は、必要とする計算量が膨大であるため困難であったが、効率的な検証スキームを開発することで、3次元定常Navier-Stokes方程式の検証に成功した。また、今後の研究において重要になると思われる、三角形要素上の補間誤差の最大値ノルムによる評価に成功した。時間発展する偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算理論を構築し、数値計算で得られた近似解の近傍に真の解が時間局所存在することを数値的に検証する計算機援用証明手法を提案した。応用例として、非線形熱方程式の複素時間領域における解のダイナミクスについて解析を行った。