非線形問題に対する高速・高精度数値計算及び精度保証に関する研究

非线性问题高速高精度数值计算及精度保证研究

• 批准号: 01J03314
• 负责人: 小林 健太
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J03314/
• 关键词: 精度保証; 数値的検証法; Nekrasov方程式; 解の大域的な一意性

我々は今年度においては、主として、Nekrasov方程式の正値解の大域的な一意性に対する数値的検証法に関する研究を行なった。水面波におけるある種の進行波の一意性を証明することは、Nekrasov方程式に対する正値解の一意性の証明に帰着することが知られている。一意性の証明は多くの水面波の研究者にとって40年来の未解決問題であったが、Nekrasov方程式に対し数値的検証法を用いることにより正値解の大域的な一意性の証明に成功した。本研究においては、精度保証付き数値計算を用いて反復により解の存在範囲を逐次評価し、ある程度解の存在範囲が限定されたところで縮小写像を評価するという手法を用いた。実際の計算においては計算速度を上げるため、浮動小数点の丸めの方向を制御することにより精度保証を実現している。この結果、3.009【less than or equal】μ【less than or equal】3.0092と3.3【less than or equal】μ【less than or equal】30の範囲について正値解の一意性を証明することができた。μ=3はこの方程式の分岐点になっており、分岐点近傍での数値計算は非常に困難であるが、その付近での検証にも成功した。加えて、μが3以上3.009以下の場合については正値解の一意性を解析的に証明した。精度保証付き数値計算を数学的な証明に用いている研究は、これまでにも多く報告されているが、それらの研究のほとんどは方程式の局所的な性質に関するものであり、本研究のように方程式の大域的な性質を証明した結果はほとんど知られていない。それだけに、数値的検証法によってNekrasov方程式の正値解の一意性が証明されたという結果は、それ自体が数学的に重要である上に、数値的検証法の有効範囲を拡張することが出来たという点においても非常に意味がある。

This year, we have studied the method of unintentional solution of the main equation and Nekrasov equation. The waves on the surface of the water show that the waves are intentional, the Nekrasov equation is correct, and the equation is clear that the waves are not clear. In the past 40 years, the researchers of water surface waves have been trying to solve unsolved problems in the past 40 years, and the method of calculating the number of equations in the Nekrasov equation has been used to solve the problem of success. The purpose of this study is to calculate the accuracy and accuracy of the calculation method, and to use the method to solve the problem that there is a range of successive data, and that the range of the degree of solution is limited. In international calculation, the speed of the calculation is higher than the speed, and the direction of the floating decimal point is used to control the accuracy and accuracy of the system. The result of the experiment, 3.009 [less than or equal] μ [less than or equal] 3.0092 [less than or equal] μ [less than or equal] 30 range is correct. μ = 3 "equation" bifurcation point "bifurcation point", bifurcation point near the number of points to calculate "very difficult", "very difficult", "close", "success". Add words above μ 3 and below 3.009 to correct the meaning of "intentional" analysis. In order to ensure the accuracy of the calculation, the mathematical data are calculated in terms of the accuracy, the In this paper, the Nekrasov equation is used to understand the results of the mathematical results, the importance of mathematics, and the method of numerical calculation.

项目成果

K.Kobayashi: "A remark on the Fast Gauss Transform"Publ. R.I.M.S. (掲載決定).

K.Kobayashi：“关于快速高斯变换的评论”Publ。

K.Kobayashi, H.Okamoto, J.Zhu: "Numerical computation of water and solitary waves by the double exponential transform"J. Comp. Appl. Math.. 152. 229-241 (2003)

K.Kobayashi，H.Okamoto，J.Zhu：“双指数变换的水和孤立波的数值计算”J。