半線形放物型方程式における爆発解の解析

点击翻译按钮获取中文摘要

本研究の目的は、一般領域における正定符号もしくは、正定符号とは限らない半線形熱方程式における爆発解の評価を明らかにすることである。凸領域上での爆発解についてはすでに明らかにしている。非凸領域に関して一部の問題について解決した。全空間より原点を含むような対称領域を抜いた領域に対する球対称な爆発解について解決した。また、同様の手法を用いることで低階項を含む半線形熱方程式における爆発解についても解決した。この問題は、一般領域を半空間または凸領域に変換した際に表われる変数係数放物型方程式の一部を解決している。解決するにあたり重要な役割をもつエネルギーを再構築した。エネルギーは通常時間に関して単調減少するのだが、もっと弱い条件の下でもエネルギーに成り得ることを示した。また、今回の解析によって爆発現象は原点付近を解析すればよいことも示している。現在は、方程式における低階項の役割を明らかになるため、摩擦項つきの波動方程式にも着手している。変数係数放物型方程式に対するアプローチとして退化放物型方程式を解析し、エネルギーをもつことまで明らかにした。低階項をもつ半線形熱方程式についての結果は北海道大学・京都大学にて口頭発表した。