流体と水面波を記述する非線形偏微分方程式の適切性と解の挙動について

描述流体和水面波的非线性偏微分方程的适当性以及解的行为

• 批准号: 04J06513
• 负责人: 瀬片 純市
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Tohoku University (2005)Kyushu University (2004)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-04J06513/
• 关键词: 分散型方程式; 適切性; 漸近解析; 渦系運動; 水面波; 渦糸; 初期値問題; 漸近挙動; 安定性; 特異積分作用素

今年度は渦糸の運動の時間無限大における振る舞いを考察するため,その近似モデルである4階非線形シュレディンガー型方程式の解の漸近挙動について研究を行った.この近似方程式の非線形相互作用は冪乗型相互作用であるが,非線形項の冪が3のとき物理学的に重要となる.数学的には非線形項の冪が小さい場合(3以下の場合),非線形項の影響によりその方程式の解の漸近挙動が線形化方程式の解と異なることが知られており数学的な取り扱いが難しくなる.ここでは非線形項の影響を考慮した漸近形を考え,この漸近形に近づくような4階非線形シュレディンガー型方程式の解を見つけることができた.より詳しくは,与えられた漸近状態の大きさが小さくモーメント条件(つまり平均が0)の場合,この漸近形に近づくような方程式の解を見つけることができた.また,今年度は4階非線形シュレディンガー型方程式の解の漸近挙動と非線形項の形状との関連性を調べるため,上の問題の他に次の2つの問題についても考察した:(1)上の問題においては非線形項の係数は実数であったがその係数を複素数(この場合非線形項は消散性を持つ)にした場合どうなるか?(2)ゲージ不変性がない場合,解の挙動はどうなるか?(1)については非線形項の係数が負の場合,消散構造により,与えられた漸近状態の大きさが大きくともモーメント条件(つまり平均が0)を満たすならば,この漸近形に近づくような方程式の解の存在を示すことができた.(2)については非線形項の影響は解の漸近形に現れない,つまりゲージ不変性を持たない3次の非線形項を持つ4階非線形シュレディンガー型方程式の解は対応する線形化方程式の解に近づくということがわかった.

A study of asymptotic motion of solutions to fourth-order nonlinear equations is carried out. The nonlinear interaction of the approximate equation is a power-type interaction, and the power of the nonlinear term is important in physics. In mathematics, the power of the non-linear term is small (3 or less), and the influence of the non-linear term is difficult to solve. The influence of non-linear term is considered. The asymptotic form is considered. The asymptotic form is near to the solution of the fourth-order non-linear equation. When the asymptotic state is large and small, the asymptotic form is close to the solution of the equation. The asymptotic motion of the solution of the fourth-order nonlinear equation and the shape and dependence of the nonlinear term are investigated in this year:(1) The coefficient of the nonlinear term is the coefficient of the complex prime number (in this case the nonlinear term is dissipative) in the above problem. (2)If you don't have sex, why don't you move? (1)When the coefficient of the nonlinear term is negative, the dissipative structure shows the existence of the solution of the asymptotic equation. (2)The influence of the non-linear term on the asymptotic form of the solution appears in the solution. The non-linear term of the third order is independent. The non-linear term of the fourth order is independent. The solution of the linear equation of the fourth order is independent.

项目成果

Time local well-posedness for the Benjamin-Ono equation with large initial data

具有大量初始数据的 Benjamin-Ono 方程的时间局部适定性

• 期刊: Publications of Research Institute for Mathematical Sciences (To appear)
• 作者: Jun-ichi Segata;Akihiro Shimomura;北 直泰 et al.
• 通讯作者: 北 直泰 et al.

Asymptotics of solutions to the fourth order Schrodinger type equation with a dissipative nonlinearity

• DOI: 10.1215/kjm/1250281786
• 发表时间: 2006
• 期刊: Journal of Mathematics of Kyoto University
• 作者: J. Segata;A. Shimomura