Analysis of nonlinear Schrodinger equation on network

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本研究の目的は, ネットワーク上の量子的粒子の運動を, グラフ上で非線形シュレディンガー方程式を解析することで解明することである. 本年度はグラフ上の非線形シュレディンガー方程式に対し, 解の適切性(解の存在, 一意性, 解の初期値連続依存性)及び解の長時間挙動という観点から考察した. グラフ上の線形シュレディンガー作用素は, 一般にスペクトルの構造が複雑で, 例えば, 円と半直線をキルヒホッフ接続条件でつなげたオタマジャクシ型とよばれるグラフの場合, 連続スペクトルの中に可算無限個の埋蔵固有値が現れる. この場合, そのグラフ上の線形シュレディンガー方程式の解の減衰評価は知られているが, 本研究ではグラフにどのような構造があれば線形シュレディンガー方程式の解が減衰評価を持つのか?ということについて考察したとともに, 減衰評価が対応する非線形方程式の解の長時間挙動(散乱問題, ソリトンの漸近安定性など)に適用できるかどうかについても検討した. また, 関連する問題として, 空間1次元において3次の非線形項をもつ非線形シュレディンガー連立系の解の長時間挙動について考察した. 方程式が単独の場合, 非線形項の影響により, 解の漸近形に位相の修正を伴うことが以前から知られていたが, 本研究では, 解の漸近形に位相の修正を伴うだけでなく, 振幅部分にも非線形項の影響による修正項が現れ, 解の時間減衰が対数オーダーや代数オーダーで遅くなるような非線形シュレディンガー連立系の例を見つけた.