複素超球上のある幾何的調和形式の数論的研究

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前年に引き続き、複素超球の算術商Xの上の保型形式のうち波動関数及び(1,1)型の調和形式に対応するものについて研究を行った。得られた成果は次のとおりである。(1)まず、Xの中の普遍被覆の複素余次元1の部分複素超球から生じるXの特殊サイクルに沿ったアイゼンシュタイン級数の不変積分を計算し、リーマンのゼータ関数およびディリクレのゼータ関数を用いた明示的な表示をえた。これは、特殊サイクル達がXの中で不変測度に関して一様分布であることの証明に利用可能である。(2)つぎに、前年度に既に概ね証明していた余次元1の特殊サイクルに付随したグリーン関数のユニタリー群U(n,1)の極大冪単部分群にそったフーリエ係数の具体的表示を利用して、X上の波動関数の特殊サイクルに沿った周期積分を含むある量を、マースの楕円波動形式のフーリエ係数の平均値であらわす公式を証明した。応用としてX上の一次独立な波動関数のうち生成的なものが無限個存在することが(Xに数論的なある条件を課した上で)証明出来た。(1,1)型の調和形式についても同様な公式を証明した。(3)IV型対称領域の算術商の上のヘッケ固有正則カスプ保型形式の標準エル関数のアンドリャーノフ・菅野による積分表示の構成をたどることで、ユニタリー群U(n,1)上の波動関数及び(1,1)型調和形式に対応するヘッケ固有非正則カスプ形式の標準エル関数について、固有形式が生成的という条件のもとで、類似の積分表示を得ることが出来た。応用としてこれらのエル関数の、実部が最大の可能な極が現れる条件を周期積分の非消滅によって述べることが出来る。尚、上記(1)については既に論文として出版済み、(2)、(3)については現在論文を準備中である。