ダブルアフィンヘッケ環の表現の構造についての研究

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ダブルアフィンHecke環とは、Cherednikによって90年代に導入された代数で、量子可積分系や多変数直交多項式系など多岐の話題に繋がりをもつ対象である。この代数は、ルート系に付随して定義され、いくつかのパラメータを含み、また多変数Laurent多項式環上への表現を持つことが知られている。この表現は多項式表現と呼ばれている。多項式表現は、代数の持つパラメータが一般の場合については既約性や半単純性などの性質が既に示されているが、パラメータが特殊の場合については未だ知られていないことが多い。研究代表者は、平成19年度に出版された共著論文において、GL型ダブルアフィンHecke環の多項式表現を用いて、量子Knizhnik-Zamolodchikov方程式(以下、量子KZ方程式と呼ぶ)の多項式解を構成じた。この論文では、代数の持つパラメータを特殊化した状況下での非対称Macdonald多項式の性質を用いることで、従来考えられていなかったような量子KZ方程式の多項式解を統一的に構成することに成功した。また研究代表者は、(C^V,G)型ダブルアフィンHecke環の多項式表現について、考えられる様々なパラメータ特殊化の下での表現の構造(既約性、半単純性等)を調べた。さらにそのパラメータ特殊化の下で、非対称Koornwinder多項式の拡張を導入し、表現の線形基底の構成法を示した。この研究結果は、平成20年3月の日本数学会において発表された。