リーマン多様体の崩壊と微分形式のラプラシアンの固有値の研究

黎曼流形崩溃和微分形式拉普拉斯特征值的研究

• 批准号: 16740026
• 负责人: 高橋 淳也
• 金额: $ 2.24万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16740026/
• 关键词: Laplacian; 固有値; 固有関数; Riemann多様体の崩壊; L^2-解析; 収束; 極限; 微分形式; Riemann多様体; 崩壊; コホモロジー群; 固有値の収束; ラプラシアン; リーマン多様体; 調和形式

閉Riemann多様体が崩壊した時、対応する微分形式に作用するLaplacianの固有値の極限について研究を行ってきた.Riemann多様体の崩壊の最も基本的な例は、fiber buundleでそのfiberが一様に潰れて底空間に収束するものである.この場合のLaplacianの固有値の極限についてはよく分かっている.一般に、断面曲率が下から一様に抑えられている場合の崩壊は、粗く言うと、このようなfiber bundleが貼り合ってできている.従って、この場合のLaplacianの固有値の極限を調べるというのはごく自然なことであり、とても重要なことである.しかし、貼り合わせの複雑さのため、一般に固有値の極限を調べるのは非常に困難である.そこで、我々はこのような貼り合わせの崩壊の最も簡単な場合、すなわち、2つのコンパクトな境界つき直積Riemann多様体の境界で貼りあわせて得られる崩壊を調べた.ここで、一方のfiberが他方のfiberの境界になっている点が面白いところである.昨年度までは、第1固有値の極限、特に、0に収束する小さい固有値や∞に発散する大きい固有値の存在とfiberのトポロジー関係について調べてきた.本年度はすべての固有値の極限を調べるために、まず関数に作用するLaplacianの固有値の極限を調べた.その結果、昨年度まであった底関数の次元に関する仮定を完全に取りのぞくことができ、関数に作用するLaplacianの固有値が底空間の固有値に収束することを完全に示すことができた.同時に。対応する固有関数の収束も示すことができた.証明方法は、偏微分方程式の関数解析的手法、いわゆる、$L 2$-解析を用いて行った.なお、本結果を論文として発表することができた(別記).

A study of the limit of the intrinsic value of a Laplacian for a closed Riemann manifold is carried out. The most basic example of a Riemann manifold collapse is a fiber buundle. For this case, the Laplacian's intrinsic value is limited. In general, the curvature of the cross section is different from that of the bottom, and the curvature of the cross section is different from that of the bottom.従って、この场合のLaplacianの固有値の极限を调べるというのはごく自然なことであり、とても重要なことである. It is difficult to adjust the limit of inherent value. The most simple case, the most simple case.ここで、一方のfiberが他方のfiberの境界になっている点が面白いところである. Last year, the 1st inherent value limit, special value, 0, bundle, small inherent value, dispersion, large inherent value, existence, fiber, bundle, relationship, adjustment, etc. This year, the limit of the intrinsic value of the Laplacian is adjusted. The result is that the Laplacian's intrinsic value is the intrinsic value of the base space. At the same time. The natural number of contacts Proving method, partial differential equation and relevant number analysis method,,$L 2$-analysis The results of this paper are presented in detail.

项目成果

Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on $p$-forms

$p$-形式上拉普拉斯算子的上同调群和大特征值的消失

• 发表时间: 2005
• 期刊: Mathematische Zeitschrift (発表予定)
• 作者: Atsuko Yamada Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Kaori Yamazaki;Katsuhiro Moriya;Junya Takahashi
• 通讯作者: Junya Takahashi

The gap of the eigenvalues for $p$-forms and harmonic $p$-forms constant length

$p$-形式和调和 $p$-形式的特征值差距恒定长度

• 发表时间: 2005
• 期刊: Journal of Geometry and Physics (発表予定)
• 作者: Atsuko Yamada Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Ken-Ichi Yoshikawa;Kaori Yamazaki;Katsuhiro Moriya;Junya Takahashi;Junya Takahashi
• 通讯作者: Junya Takahashi