フラクタルグラフでのパーコレーション相転移現象の研究

平成18年度は、当初計画通りに「フラクタルグラフでの研究の成果と通常のd次元格子モデルとの関係」について研究を進め、その2つのモデルの「橋渡し」と考えられるシェルピンスキガスケットフラクタルと1次元格子の直積グラフにおけるパーコレーション問題を中心に考察をおこなった。このシェルピンスキガスケットとは「有限分離性」を持つ、直観的には「細いボトルネック構造を持つ」グラフであり、統計力学の確率モデルにおいてこの細い部分の影響がどれほど現れるか、というものである。その成果として、単純なフラクタル格子で現れている「ボトルネックの顕著な影響」はここで考察している新たなグラフでは「ある程度緩和」され、フラクタルの性質をある程度保持しつつ平行移動不変格子(非フラクタル)のよい性質も持つことが現在までにわかりつつある。具体的に言えば、最初の問題として「無限連結成分がボトルネックで分離されてバラバラの状態で存在するか、大きな塊の状態で存在するか」があるが、このグラフではパーコレーションの無限連結成分は唯一であり、パラメータに関して2相にしか持たない(中間相がない)、ということがわかった。こうした性質が・他のフラクタル直積グラフでも成り立つかどうか、・他の統計力学モデルでも成り立つかどうか、は(ある程度の予想はできるが)さらに研究を進める必要がある。なお、この研究における論文は現在準備中であり、19年3月の日本数学会統計数学分科会で講演を行い(演題:The number of infinite percolation clusters on some graph products)、19年度に入っていくつかの研究集会でも発表予定である。

平成18年度は、当初計画通りに「フラクタルグラフでの研究の成果と通常のd次元格子モデルとの関係」について研究を進め、その2つのモデルの「橋渡し」と考えられるシェルピンスキガスケットフラクタルと1次元格子の直積グラフにおけるパーコレーション問題を中心に考察をおこなった。このシェルピンスキガスケットとは「有限分離性」を持つ、直観的には「細いボトルネック構造を持つ」グラフであり、統計力学の確率モデルにおいてこの細い部分の影響がどれほど現れるか、というものである。その成果として、単純なフラクタル格子で現れている「ボトルネックの顕著な影響」はここで考察している新たなグラフでは「ある程度緩和」され、フラクタルの性質をある程度保持しつつ平行移動不変格子(非フラクタル)のよい性質も持つことが現在までにわかりつつある。具体的に言えば、最初の問題として「無限連結成分がボトルネックで分離されてバラバラの状態で存在するか、大きな塊の状態で存在するか」があるが、このグラフではパーコレーションの無限連結成分は唯一であり、パラメータに関して2相にしか持たない(中間相がない)、ということがわかった。こうした性質が・他のフラクタル直積グラフでも成り立つかどうか、・他の統計力学モデルでも成り立つかどうか、は(ある程度の予想はできるが)さらに研究を進める必要がある。なお、この研究における論文は現在準備中であり、19年3月の日本数学会統計数学分科会で講演を行い(演題:The number of infinite percolation clusters on some graph products)、19年度に入っていくつかの研究集会でも発表予定である。