微分方程式と微分幾何学の特異点論的研究

微分方程与微分几何的奇异性理论研究

• 批准号: 18840001
• 负责人: 高橋 雅朋
• 金额: $ 1.61万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (Start-up)
• 财政年份: 2006
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2006 至 2007
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-18840001/
• 关键词: 特異点論; Implicitな微分方程式; 2階常微分方程式; ルジャンドル特異点論; ラグランジュ特異点論; ミンコフスキー空間; 波面; 焦面

1.微分方程式への特異点論的研究について(1)Implicitな2階常微分方程式に対して,方程式超曲面を覆う2パラメーター族の幾何学的解(完全解)を持つための必要十分条件を求めました.また,ある条件のもとで完全解を持つための条件を接触特異点集合の言葉で書くことが出来ました。さらに2階の方程式の特徴的な解である1パラメーター族の特異解(完全特異解)を持つための必要十分条件を求めました.これらの結果を11月のフランスでの研究集会「Singularities Grand Sub」と1月の旭川での研究集会「接触構造・特異点・微分方程式およびその周辺」において発表しました.(2)滑らかな正規微分方程式に対しては局所的に一意的に解が存在することが知られていますが,一般的に正規系ではないimplicitな場合は成り立ちません.そこでimplicitな2階常微分方程式に対して局所的に一意的な幾何学的解が存在する条件を求めました.この結果は様々な応用があると思われ次年度は応用についても考察したいと思います.この研究を2月の北大での研究集会「第9回北海道-ソウル大学ジョイントシンポジウム」と3月の沼津での「第14回沼津研究集会」において発表しました.2.微分幾何学への特異点論的研究について(1)ミンコフスキー空間内の3つの擬球面(双曲空間・光錐・ドシッター空間)の中の空間的超曲面に対して,それぞれのCaustics(焦面)とWave font (波面)をグラフ的写像を用いることにより同値関係レベルで関係を記述しました.さらに,ユークリッド空間の超曲面の場合に応用し,球との接触の様子をより詳しく調べることが出来ました.この結果を6月の山口大学での研究集会「特異点論-局所対大域」と11月のフランスでの研究集会「Hayashibara forum on Singularities」において発表しました.(2)3次元双曲空間内のホロ平坦曲面の幾何学的性質やホロ球的接線曲面の特異点の分類を行いました.

1. A Study of Differential Equations and the Theory of Distinctive Points (1)Implicit 2-order Ordinary Differential Equations (2) Geometric Solutions (Complete Solutions) of Hypersurfaces of Equations (2) Necessary conditions for the continuation of differential equations (2).また,ある条件のもとで完全解を持つための条件を接触特异点集合の言叶で书くことが出来ました。The characteristic solution of the equation of order 2 is obtained by solving the necessary condition for the existence of the complete solution of the family of equations. The results of this research were presented at the research conference "Singularity Grand Sub" in November and at the research conference "Contact Structure, Distinguished Points, Differential Equations and Perimeters" in Asahikawa in January (2)A normal differential equation is a normal differential equation. The conditions for the existence of a geometric solution to an implicit second-order ordinary differential equation The result is that the next year's survey will be conducted. This research was conducted at the Peking University Research Conference in February,"The 9th Hokkaido University Research Conference" and at the "14th Nuzu Research Conference" in March. 2. Research on the Theory of Special Points in Differential Geometry (1) 3. Pseudospheres in Space (Hyperbolic Space·Light Cone·D φIn the case of hypersurfaces in space, spherical contact elements are used in detail. The results were presented at a research conference at Yamaguchi University in June and at a research conference at Yamaguchi University in November. (2)3 Geometric Properties of Flat Surfaces in Dimensional Hyperbolic Spaces and Classification of Special Points of Connecting Surfaces of Sphere

项目成果

On complete solutions and complete singular solutions of second order ordinary differential equations

关于二阶常微分方程的完全解和完全奇异解

• 发表时间: 2007
• 期刊: Colloquium Mathematicum 109
• 作者: S.Izumiya;M.Takahashi;M.Takahashi;Masatomo Takahashi
• 通讯作者: Masatomo Takahashi

Spacelike Parallels and Evolutes in Minkowski pseudo-spheres

• DOI: 10.1016/j.geomphys.2007.01.008
• 发表时间: 2006-01
• 作者: S. Izumiya;Masatomo Takahashi

On completely integrable first order ordinary differential equations

关于完全可积的一阶常微分方程

• 发表时间: 2007
• 期刊: Proceedings of the Australian-Japanese Workshop on Real and Complex singularities (To appear)
• 作者: M.Hase;A.Yamada;T.Hamada;K.Yoshikawa;若槻 聡;若槻 聡;Masatomo Takahashi;Masatomo Takahashi
• 通讯作者: Masatomo Takahashi

On implicit second order ordinary differential equations : Completely integrable and Clairaut type

关于隐式二阶常微分方程：完全可积和 Clairaut 型

• 发表时间: 2007
• 期刊: Journal of Dynamical and Control Systems (To appear)
• 作者: M.Hase;A.Yamada;T.Hamada;K.Yoshikawa;若槻 聡;若槻 聡;Masatomo Takahashi
• 通讯作者: Masatomo Takahashi