有限自由分解とgeneric initial idealの研究

平成20年度は主にalgebraic shiftingと単項式イデアルの次数付きベッチ数についての研究を推進した.Algebraic shiftingと単項式イデアルの次数付きベッチ数に関する研究において最も重要な問題の一つは,Herzogの予想と呼ばれるベッチ数の不等式に関する4つの予想である.当該研究課題ではこのHerzogの予想についての研究を進めて来たが,今年度,combinatorial shiftingと呼ばれるalgebraic shiftingに近い作用を取ることで次数付ベッチ数は減少しない,ということを証明し,特に,これにより上記の一連の不等式のうち未解決であったものの一つを肯定的に解決した.2006年BabsonとNovikは従来のalgebraic shiftingの一般化として,colored algebraic shiftingと呼ばれる作用を導入した.このcolored algebraic shiftingがalgebraic shiftingが持つような様々な良い性質を持つか?ということが注目されているが,今年度の研究成果の一つとして,colored algebraic shiftingを取る事で次数付ベッチ数は減少しないという結果を証明し,colored algebraic shiftingの基礎理論の構築に貢献した.組合せ論における重要な研究問題の一つに,与えられた単体的複体のクラスに対しそのクラスに入る単体的複体の面の個数の特徴付けを与えよ,という問題がある.今回,algebraic shiftingについての最先端の理論を応用することで,コーダルグラフに付随するflag complexの面の個数の特徴付けを与えるという結果を得た.

平成20年度は主にalgebraic shiftingと単項式イデアルの次数付きベッチ数についての研究を推進した.Algebraic shiftingと単項式イデアルの次数付きベッチ数に関する研究において最も重要な問題の一つは,Herzogの予想と呼ばれるベッチ数の不等式に関する4つの予想である.当該研究課題ではこのHerzogの予想についての研究を進めて来たが,今年度,combinatorial shiftingと呼ばれるalgebraic shiftingに近い作用を取ることで次数付ベッチ数は減少しない,ということを証明し,特に,これにより上記の一連の不等式のうち未解決であったものの一つを肯定的に解決した.2006年BabsonとNovikは従来のalgebraic shiftingの一般化として,colored algebraic shiftingと呼ばれる作用を導入した.このcolored algebraic shiftingがalgebraic shiftingが持つような様々な良い性質を持つか?ということが注目されているが,今年度の研究成果の一つとして,colored algebraic shiftingを取る事で次数付ベッチ数は減少しないという結果を証明し,colored algebraic shiftingの基礎理論の構築に貢献した.組合せ論における重要な研究問題の一つに,与えられた単体的複体のクラスに対しそのクラスに入る単体的複体の面の個数の特徴付けを与えよ,という問題がある.今回,algebraic shiftingについての最先端の理論を応用することで,コーダルグラフに付随するflag complexの面の個数の特徴付けを与えるという結果を得た.