可換環論・数え上げ組合せ論・組合せトポロジーの間の相互関係の研究

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本研究の目的は可換環論と組合せ論の間の相互関係を発展させることである。特に、現在知られている「(a) 可換環論における単項式イデアルの研究」、「(b) 凸多面体の数え上げ組合せ論」、「(c) 単体的複体の組合せトポロジー」、の間の相互関係を更に発展させることを目指している。本年度の主な研究は以下の通りである。１．Isabella Novik (University of Washington), Hailun Zheng (University of Houston-Downtown)と共に、4次元以上の素な単体的凸多面体のaffine stressが多面体のアフィン型を決定する、というGil Kalaiの予想について研究を行った。Affine stressは多面体のアフィン型の概念を高次元化したものであるが、代数的には多面体から定まるスタンレー・ライスナー環を0次元化したものの双対に相当する概念と考えることが出来る。本研究では凸多面体のスタンレー・ライスナー環の持つHard Lefschetz性と呼ばれる代数的な性質を用いて、Gil Kalaiの予想を5次元以上の場合に証明することに成功した。２．上記の研究に加え、吉永正彦（大阪大学）・東谷章宏（大阪大学）と、平行移動をした際に有理凸多面体のエルハート準多項式がどのように変化するかという問題について研究を行った。特に、本問題がconic divisorial idealと呼ばれる代数的な対象と関連することを発見し、conic divisorial idealのヒルベルト関数を用いたエルハート準多項式の新しい計算方法を考案した。上記の研究成果は論文として取りまとめ、国際的な学術誌に投稿する予定である。