部分多様体の幾何学構造及び位相構造の研究

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単位球面内のスカラー曲率が一定でコンパクト超曲面の弱安定性指数を研究し,ある種の条件の下で,全臍的でないスカラー曲率が一定でコンパクト超曲面の弱安定性指数はn+2以上であることを示した。弱安定性指数がn+2であるときこの超曲面は2つの球面のリーマン積に限る。単位球面内の完備超曲面に対して,位置ベクトルと法ベクトルにより2つの関数を定義した。この2つの関数を用いて,Gauss-Kronecker曲率が一定となる完備超曲面の特徴付けを与えた。Euclid空間内に平均曲率またはスカラー曲率が一定となるコンパクト埋め込み超曲面が標準球面しかないことがよく知られている。一方,標準球面と2つの球面のリーマン積は単位球面内のコンパクト埋め込み超曲面であるが,それ以外のコンパクト埋め込み超曲面が存在するかどうは重要な研究課題である。我々はk次平均曲率が一定でコンパクト埋め込み超曲面を沢山構成し,この問題を否定的に解決した。完備なリーマン多様体の有界領域における張り詰められた状態でのプレート(clamped plate)問題の固有値を研究した。Nashの定理を利用し,試験関数を作り,優れた評価を通じて,階数が低い固有値に関する最適な普遍不等式を得た。P.Li, Yauの部分的に解決したPolya予想及びWeylの漸近式により,n次元Euclid空間内の有界領域におけるLaplace作用素のDirichlet固有値問題の第k番目固有値に対する下限を与えた。張り詰められた状態でのプレート(clamped plate)問題の固有値に関して,AgmonとPleijelは漸近式を得て,Levine-Protterはkの最大位数の意味で最適な下限を得た。我々は領域の「moment of inertia」を利用し,領域の対称減少再配列方法を用いて,Levine-Protterの不等式を精密化した。即ち,kの最大位数のみならず,その次の位数項も導いた。