極小部分多様体の研究

最小子流形的研究

• 批准号: 08740065
• 负责人: 成 慶明
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Saga University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740065/
• 关键词: 極小超曲面; スカラー曲率; 第二基本形式; 主曲率; 部分多様体; 安定なcurrent

本研究の研究実業の概要は次の通りである。1.moving frame方法と積分公式を利用して、第二基本形式のHessianを評価して、球面内のcompactな極小超曲面を研究した。特に、Clifford torusの剛体性を研究した。すなわち、次の定理を示した:定理1.Mを球面S^<n+1>(1)内のスカラー曲率が一定のcompactな極小超曲面とする。O<S<n+n/3ならば、MはClifford torusである。ただし、SはMの第二基本形式の2乗ノルムである。定理2.Mを球面S^<n+1>(1)内の二つ異なる主曲率を持つcompactな極小超曲面とする。もしn【less than or equal】S【less than or equal】n+(2n^2(n+4))/(3〔n(n+4)+4〕)ならば、MはClifford torusである。ただし、SはMの第二基本形式の2乗ノルムである。2.変分公式を利用して、Euclid空間の部分多様体内に安定なcurrentの非存在性を研究した。特に、次の事を示した。定理3.MをcylinderR^k×S^<m-k>(c)orS^k(c_1)×S^<m-k>(c_2)内のcompactな部分多様体とする。もし任意のx∈Mで、T_xMの任意なorthonormal base{e_i,e_a}に対して、(i=1,…,p,a=p+1,…,m)が満たされれば、M内の安定なcurrentが存在しないかつH_p(M,Z)=H_<m-p>(M,Z)=0が成り立つ。ただし、hはMの第二基本形式で、H_p(M,Z)はMのp-th整係数singular homology群である。

The summary of the research work of this study is very important. 1. The moving frame method and integral formula are used to evaluate the Hessian of the second fundamental form and to study the compact hypersurface in the sphere. A Study on the Rigid Properties of Clifford Torus Theorem 1. The curvature of a sphere S^<n+1>(1) is a compact minimal hypersurface. O<S<n+n/3ならば、MはClifford torusである。ただし、SはMの第二基本形式の2乗ノルムである。Theorem 2. The principal curvature of the sphere S^<n+1>(1) maintains compact minimal hypersurfaces.もしn【less than or equal】S【less than or equal】n+(2n^2(n+4))/(3〔n(n+4)+4〕)ならば、MはClifford torusである。ただし、SはMの第二基本形式の2乗ノルムである。2. Study on the non-existence of stable current in partial multiplicities of Euclid space by using differential equations. Special and secondary events are shown. Theorem 3. A compact partial manifold in M is a cylinder R ^k×S^<m-k>(c) or S ^k(c_1)×S^<m-k>(c_2). For any x∈M, T_xM for any orthonormal base{e_i,e_a},(i=1,…,p,a=p+1,…,m) there is a current, H_p(M,Z)=H_<m-p>(M,Z)=0. H_p(M,Z) M p-th integer coefficient singular homology group.

项目成果

Qing-Ming Cheng: "The rigidity of Clifford torus S^1(√<1/n>)×S^<n-1>(√<(n-1)/n>)" Comment.Math.Helv.71(1). 60-69 (1996)

程清明：“Clifford 环面的刚度 S^1(√<1/n>)×S^<n-1>(√<(n-1)/n>)”Comment.Math.Helv.71 (1). 60-69 (1996)。

Qing-Ming Cheng: "Spacelike hypersurfaces with constant scalar curvature" to appear in Manuscripta Math.1-9 (1997)

Qing-Ming Cheng：“具有恒定标量曲率的类空间超曲面”出现在 Manuscripta Math.1-9 (1997) 中

Qing-Ming Cheng: "Nonexistence of integral currents II" Kyushu J.Math.51(1). 1-16 (1997)

程清明：“积分电流不存在II”九州J.Math.51(1)。

Hongcang Yang: "Chern's conjecture on minimal hypersurfaces" to appear in Math.Z.1-14 (1997)

杨宏仓：“陈省身关于最小超曲面的猜想”出现在 Math.Z.1-14 (1997)