極小部分多様体の研究

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本研究の研究実業の概要は次の通りである。1.moving frame方法と積分公式を利用して、第二基本形式のHessianを評価して、球面内のcompactな極小超曲面を研究した。特に、Clifford torusの剛体性を研究した。すなわち、次の定理を示した:定理1.Mを球面S^<n+1>(1)内のスカラー曲率が一定のcompactな極小超曲面とする。O<S<n+n/3ならば、MはClifford torusである。ただし、SはMの第二基本形式の2乗ノルムである。定理2.Mを球面S^<n+1>(1)内の二つ異なる主曲率を持つcompactな極小超曲面とする。もしn【less than or equal】S【less than or equal】n+(2n^2(n+4))/(3〔n(n+4)+4〕)ならば、MはClifford torusである。ただし、SはMの第二基本形式の2乗ノルムである。2.変分公式を利用して、Euclid空間の部分多様体内に安定なcurrentの非存在性を研究した。特に、次の事を示した。定理3.MをcylinderR^k×S^<m-k>(c)orS^k(c_1)×S^<m-k>(c_2)内のcompactな部分多様体とする。もし任意のx∈Mで、T_xMの任意なorthonormal base{e_i,e_a}に対して、(i=1,…,p,a=p+1,…,m)が満たされれば、M内の安定なcurrentが存在しないかつH_p(M,Z)=H_<m-p>(M,Z)=0が成り立つ。ただし、hはMの第二基本形式で、H_p(M,Z)はMのp-th整係数singular homology群である。