保型形式の零点の配置と球面上の代数的組合せ論に関する研究

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球面上の代数的組合せ論に関する研究として,格子の分類と,その殼から得られる球面デザインについて調べた。その研究成果として,まずは整数格子の一種である3-格子について,計算機を用いて7次元以下の全ての3-格子を分類し,その最小ノルムの殻から得られる球面デザインについて調べた。先行する結果として,味村氏による5次元以下の3-格子の分類が知られている。3-格子は様々な観点から研究がなされており,事実,味村氏は正値2次形式の観点から取り組んでいるが,本研究においては球面デザインの観点から研究を行っている。また,もう1つの研究成果として,B.B.Venkov氏の最小ノルムが3の超完璧格子の分類についての結果を応用し,ノルムが3の殼が球面上の5デザインとなる格子が9つの格子に分類されることを理論的に証明した。一方,球面上の代数的組合せ論に強い関連を持つものの1つにアソシエーション・スキーム(以下ASと表す)が挙げられる。実際,一部の球面デザインからASが構成でき,逆にASから球面への埋め込み(実現)を考えることもできる。そのASの研究の一環で,足立氏との共同研究の中で,花木-宮本のASの分類結果を用いて30点以下の全ての原始的なASの球面への実現を計算し,その実現が4次元でbalancedの性質を持つものを分類した。また,長友氏との共同研究で,一部計算機を用いて,12,13点の全てのコヒアラント配置について分類した(11点以下は白土氏による結果が知られる)。コヒアラント配置は,ASの一般化であり,またASの組合せとしても捉えられる。そのことから,近年,球面上の有限集合の組合せなどとの関連から注目されている。