Fusion of algebra, geometry and combinatorics based on the roots of Poincare polynomials of hyperplane arrangements

基于超平面排列庞加莱多项式根的代数、几何和组合数学的融合

• 批准号: 20K20880
• 负责人: 阿部 拓郎
• 金额: $ 4.16万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-07-30 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K20880/
• 关键词: 超平面配置; 対数的ベクトル場; 特性多項式; 整数根; 交差格子; メビウス関数; 逆特性多項式; 逆交差格子; 特性多項式とその根; 分解定理; 制限写像; 有向グラフ配置; Shi配置; Ish配置; ポアンカレ多項式; ランダム生成アルゴリズム; 機械学習; 局所化と制限; 対数的微分形式; オイラー制限射; Ramanujan Machine

本年度は、コロナ禍がある程度の落ち着きを見せてきたため、海外への渡航が部分的に可能となった。そこで、2022年11月にMax Wakefield氏をアメリカはアナポリスに、研究分担者の沼田泰英氏とともに訪問し、超平面配置の特性多項式の根及び関連する話題に関して研究打ち合わせを一週間ほど実施した。Wakefield氏はマトロイドと呼ばれる、線形空間の抽象化に関連した組み合わせ論及び幾何学の研究において近年顕著な業績を上げており、その観点から特性多項式の根に関する議論を発展させようと考えた。この議論の中で、特性多項式を超平面配置からマトロイドへ拡張し、その根が整数である場合を考察することで、本研究に新しい視点を得ることができた。更に、特性多項式を定める組み合わせ構造である交差格子の上下をさかさまにして得られる逆交差格子にメビウス関数を定義しそこから得られる、いわば逆特性多項式という組み合わせ論的不変量の考察を行うことで、元の特性多項式の整数根の意味に対して、新たな視点からアプローチすることができた。本研究は非常に深く新しい内容を含んでおり、現在もこの三名で研究を遂行中である。また、やはり三次元の場合が基本的な問題であるとの観点から、三次元配置の根が整数である場合のみならず、整数根を持つパートに定数分だけずれているケースの、そのずれている定数部分の意味についてより深く考察することも行った。その結果として、自由配置と自由配置に挟まれた自由でない配置たちの根（の類似物）の挙動が代数的に統制できる可能性が出てきた。これは現在研究が進行中であり、来年度以降も注力する。

今年，由于19日期的大流行在某种程度上已经平静下来，因此在某些情况下可以出国旅行。因此，在2022年11月，Max Wakefield与研究伙伴Numata Yasuhide一起访问了美国的Annapolis，并在研究会议上进行了大约一周的研究会议，介绍了超平面布置特征特征多项式和相关主题的根源。韦克菲尔德（Wakefield）近年来在与线性空间的抽象（称为矩形的抽象）有关的研究研究中取得了重大成就，从这个角度来看，他想对特征多项式的根源进行讨论。在讨论中，我们能够通过将特征多项式从超平面布置扩展到矩形，并考虑其根源是整数的情况，从而获得了这项研究的新观点。此外，通过定义莫比乌斯的功能在相互交叉的晶格的顶部和底部获得的逆交叉晶格，这是一个组合结构，它是定义特征多项式的组合结构，并考虑组合不变性，这是逆特征性的多种态度，从此中获得了特征，我们可以接近iNTER的特征。这项研究包含非常深刻和新的内容，这三个人仍在进行。此外，从三维案例是一个基本问题的角度来看，我们还更深入地检查了偏差常数部分的含义，不仅是当三维安排的根部是整数时，而且当具有整数根部的部分变化时。结果，可以通过代数控制夹在自由安排和自由安排之间的自由安排的根（例如）根（例如）的行为。目前正在进行研究，我们将在来年及以后继续关注这一点。

项目成果

Roots of the characteristic polynomials of hyperplane arrangements and their restrictions and localizations

超平面排列特征多项式的根及其限制和定位

• DOI: 10.1016/j.topol.2021.107990
• 发表时间: 2021
• 期刊: Topology and its Applications
• 影响因子: 0.6
• 作者: R. Goto;Takuro Abe
• 通讯作者: Takuro Abe

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研究地图

Sylvester-Gallai の定理と対数的ベクトル場の分裂型

Sylvester-Gallai 定理和对数向量场的分裂类型

• 发表时间: 2022
• 作者: 国里愛彦;R. Goto;阿部拓郎
• 通讯作者: 阿部拓郎

アメリカ海軍兵学校(米国)

美国海军学院（美国）

阿部拓郎

阿部拓郎