Fusion of algebra, geometry and combinatorics based on the roots of Poincare polynomials of hyperplane arrangements

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本年度は、コロナ禍がある程度の落ち着きを見せてきたため、海外への渡航が部分的に可能となった。そこで、2022年11月にMax Wakefield氏をアメリカはアナポリスに、研究分担者の沼田泰英氏とともに訪問し、超平面配置の特性多項式の根及び関連する話題に関して研究打ち合わせを一週間ほど実施した。Wakefield氏はマトロイドと呼ばれる、線形空間の抽象化に関連した組み合わせ論及び幾何学の研究において近年顕著な業績を上げており、その観点から特性多項式の根に関する議論を発展させようと考えた。この議論の中で、特性多項式を超平面配置からマトロイドへ拡張し、その根が整数である場合を考察することで、本研究に新しい視点を得ることができた。更に、特性多項式を定める組み合わせ構造である交差格子の上下をさかさまにして得られる逆交差格子にメビウス関数を定義しそこから得られる、いわば逆特性多項式という組み合わせ論的不変量の考察を行うことで、元の特性多項式の整数根の意味に対して、新たな視点からアプローチすることができた。本研究は非常に深く新しい内容を含んでおり、現在もこの三名で研究を遂行中である。また、やはり三次元の場合が基本的な問題であるとの観点から、三次元配置の根が整数である場合のみならず、整数根を持つパートに定数分だけずれているケースの、そのずれている定数部分の意味についてより深く考察することも行った。その結果として、自由配置と自由配置に挟まれた自由でない配置たちの根（の類似物）の挙動が代数的に統制できる可能性が出てきた。これは現在研究が進行中であり、来年度以降も注力する。