Fusion of algebra, geometry and combinatorics based on the roots of Poincare polynomials of hyperplane arrangements

基于超平面排列庞加莱多项式根的代数、几何和组合数学的融合

• 批准号: 20K20880
• 负责人: 阿部 拓郎
• 金额: $ 4.16万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-07-30 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K20880/
• 关键词: 超平面配置; 対数的ベクトル場; 特性多項式; 整数根; 交差格子; メビウス関数; 逆特性多項式; 逆交差格子; 特性多項式とその根; 分解定理; 制限写像; 有向グラフ配置; Shi配置; Ish配置; ポアンカレ多項式; ランダム生成アルゴリズム; 機械学習; 局所化と制限; 対数的微分形式; オイラー制限射; Ramanujan Machine

本年度は、コロナ禍がある程度の落ち着きを見せてきたため、海外への渡航が部分的に可能となった。そこで、2022年11月にMax Wakefield氏をアメリカはアナポリスに、研究分担者の沼田泰英氏とともに訪問し、超平面配置の特性多項式の根及び関連する話題に関して研究打ち合わせを一週間ほど実施した。Wakefield氏はマトロイドと呼ばれる、線形空間の抽象化に関連した組み合わせ論及び幾何学の研究において近年顕著な業績を上げており、その観点から特性多項式の根に関する議論を発展させようと考えた。この議論の中で、特性多項式を超平面配置からマトロイドへ拡張し、その根が整数である場合を考察することで、本研究に新しい視点を得ることができた。更に、特性多項式を定める組み合わせ構造である交差格子の上下をさかさまにして得られる逆交差格子にメビウス関数を定義しそこから得られる、いわば逆特性多項式という組み合わせ論的不変量の考察を行うことで、元の特性多項式の整数根の意味に対して、新たな視点からアプローチすることができた。本研究は非常に深く新しい内容を含んでおり、現在もこの三名で研究を遂行中である。また、やはり三次元の場合が基本的な問題であるとの観点から、三次元配置の根が整数である場合のみならず、整数根を持つパートに定数分だけずれているケースの、そのずれている定数部分の意味についてより深く考察することも行った。その結果として、自由配置と自由配置に挟まれた自由でない配置たちの根（の類似物）の挙動が代数的に統制できる可能性が出てきた。これは現在研究が進行中であり、来年度以降も注力する。

This year's は, コロナ disaster がある degree のfall き き せ て き た た め, overseas へ の ferry が part に と な っ た.そこで、November 2022にMax Wakefield's をアメリカはアナポリスに, research co-ordinator Numata Taiei's とともにvisited, Hyperplane configuration's characteristic polynomial's roots and related topics are researched and combined with one week's work. Wakefield's research on the abstraction of linear space, the abstraction of linear space, the connection between groups, and the theory of geometry. In recent years, において has published なperformance を上げており, その観Point からcharacteristic polynomial のroot に Off する Discussion を発 Development させようとtest えた.この论の中で、Characteristic polynomial をHyperplane configuration からマトロイドへ拡张し、その根がThe integer case is investigated, and this research is a new point of view. Update, the characteristic polynomial is determined and the combination is constructed and the intersection lattice is constructed.にして got られるInverse intersection lattice にメビウス Off number をDefinition しそこから got られる、いわばInverse characteristic polynomial という group み わ せ theory の invariant measurement を row う こ と で, element の characteristics many The integer root of the term means に対して, new viewpoint からアプローチすることができた. The content of this research is very deep and new, and it is currently being carried out by three people.また、やはりThree-dimensional situations がBasic problem であるとの観Point から、Three-dimensional configuration のroot がInteger であるoccasions のみならず、Integer roots をHold the つパートにfixed number points だけずれているケースの、そのずれていThe meaning of るdefinite part is についてより深くinvestigationすることも行った.そのRESULTS として, FREE SETUP と FREE SETUP に挟まれた FREE でないCONFIGURATION たちのroot (のanalog) の挙动がAlgebraic にcontrol できる possibility が出てきた. The research is currently in progress and will be focused on in the coming year.

项目成果

Roots of the characteristic polynomials of hyperplane arrangements and their restrictions and localizations

超平面排列特征多项式的根及其限制和定位

• DOI: 10.1016/j.topol.2021.107990
• 发表时间: 2021
• 期刊: Topology and its Applications
• 影响因子: 0.6
• 作者: R. Goto;Takuro Abe
• 通讯作者: Takuro Abe

Researchmap

研究地图

Sylvester-Gallai の定理と対数的ベクトル場の分裂型

Sylvester-Gallai 定理和对数向量场的分裂类型

• 发表时间: 2022
• 作者: 国里愛彦;R. Goto;阿部拓郎
• 通讯作者: 阿部拓郎

阿部拓郎

阿部拓郎

アメリカ海軍兵学校(米国)

美国海军学院（美国）